שאלת מתכונת — שאלון 35472

1. N(0)=200 (נתון). מכיוון שהאוכלוסייה מכפילה את עצמה בכל 5 שעות: N(5) = 2·N(0) = 2·200 = 400.
2. N(10) = 2·N(5) = 2·400 = 800.
3. N(15) = 2·N(10) = 2·800 = 1,600.

תשובה: N(5)=400, N(10)=800, N(15)=1,600.

1. מכיוון שהאוכלוסייה מכפילה את עצמה בדיוק כל 5 שעות, מתקיים N(t+5)=2·N(t) לכל t, כלומר N₀·qᵗ⁺⁵ = 2·N₀·qᵗ.
2. נצמצם ב-N₀·qᵗ (שונה מאפס): q⁵ = 2.
3. נוציא שורש חמישי (q חיובי, כמנת גידול): q = ⁵√2. זהו מספר אי-רציונלי, ולכן משאירים אותו בצורה מדויקת זו (ניתן גם לרשום q = 2 בחזקת 1/5, אך נעדיף את צורת השורש).

תשובה: q = ⁵√2 (השורש החמישי של 2).

1. נציב t=15: N(15) = N₀·q¹⁵ = 200·(⁵√2)¹⁵.
2. מכיוון ש-(⁵√2)⁵ = 2 בדיוק (זו הגדרת השורש החמישי), מתקיים (⁵√2)¹⁵ = [(⁵√2)⁵]³ = 2³ = 8.
3. N(15) = 200·8 = 1,600 — תואם בדיוק לתוצאה שהתקבלה בסעיף א' בדרך הישירה (הכפלות עוקבות).

תשובה: N(15)=1,600 — תואם לסעיף א'.

1. יש לפתור N₀·qᵗ=3N₀, כלומר qᵗ=3, כלומר (⁵√2)ᵗ=3.
2. נפעיל ln על שני האגפים: t·ln(⁵√2) = ln3.
3. מכיוון ש-(⁵√2)⁵=2, מתקיים ln(⁵√2) = (1/5)·ln2 (לפי חוקי הלוגריתם). לכן: t·(1/5)·ln2 = ln3, ומכאן t = 5·ln3/ln2 (הביטוי המדויק).
4. נציב את הקירובים הנתונים: t ≈ 5·1.099/0.693 ≈ 5.495/0.693 ≈ 7.93 שעות.
5. מכיוון שהאוכלוסייה נמדדת בשעות שלמות בלבד, יש לעגל כלפי מעלה כדי להבטיח שהיא כבר השתלשה בפועל: לאחר 8 שעות שלמות (לא 7) האוכלוסייה מגיעה לראשונה לפי שלוש מגודלה ההתחלתי.

תשובה: t = 5·ln3/ln2 (מדויק); כ-7.93 שעות, ולכן לאחר 8 שעות שלמות.

1. לכל t₀≥0: N(t₀+5) = N₀·qᵗ⁰⁺⁵ = N₀·qᵗ⁰·q⁵ (לפי חוק החזקות aᵐ⁺ⁿ=aᵐ·aⁿ).
2. נחלק ב-N(t₀)=N₀·qᵗ⁰ (שונה מאפס): N(t₀+5)/N(t₀) = q⁵.
3. מסעיף ב' ידוע כי q⁵=2, ותוצאה זו אינה תלויה כלל בערך t₀ — היא נכונה לכל t₀ אפשרי.
4. לכן התלמיד צודק: היחס בין האוכלוסייה בעוד 5 שעות לאוכלוסייה הנוכחית הוא תמיד בדיוק 2, לא משנה מתי מתחילים למדוד — זוהי תכונה כללית של גידול מעריכי ("זמן הכפלה קבוע").

תשובה: צודק — N(t₀+5)/N(t₀) = q⁵ = 2 לכל t₀, ללא תלות ב-t₀.