כדור מקפץ — סדרה הנדסית אינסופית · מתכונת 35472

1. הגובה ההתחלתי הוא 9 מטרים. בכל קפיצה הגובה מוכפל ב-1/3 ביחס לגובה הקודם: h₁ = 9·(1/3) = 3, h₂ = 3·(1/3) = 1, h₃ = 1·(1/3) = 1/3.
2. מדובר בסדרה הנדסית שאיברה הראשון h₁=3 ומנתה q=1/3, ולכן הנוסחה הכללית ביחס לגובה ההתחלתי היא hₙ = 9·(1/3)ⁿ.
3. בדיקה: h₁ = 9·(1/3) = 3 ✓, h₂ = 9·(1/3)² = 9/9 = 1 ✓, h₃ = 9·(1/3)³ = 9/27 = 1/3 ✓.

תשובה: h₁=3, h₂=1, h₃=1/3 (מטרים); hₙ = 9·(1/3)ⁿ.

1. נציב n=5 בנוסחה מסעיף א': h₅ = 9·(1/3)⁵ = 9/243 = 1/27 מטר (כ-3.7 ס"מ).

תשובה: h₅ = 1/27 מטר.

1. מלבד הנפילה הראשונה (9 מ'), בכל קפיצה n≥1 הכדור עולה למרחק hₙ ויורד אותו מרחק בחזרה, כלומר תורם 2·hₙ למרחק הכולל.
2. סכום גבהי הקפיצות לאינסוף הוא סדרה הנדסית אינסופית עם איבר ראשון h₁=3 ומנה q=1/3 (מקיים |q|<1, ולכן ניתן להשתמש בנוסחת הסכום האינסופי): S = h₁/(1−q) = 3/(1−1/3) = 3/(2/3) = 4.5.
3. המרחק הנוסף הכולל (עלייה+ירידה בכל הקפיצות): 2·S = 2·4.5 = 9 מטרים. בתוספת הנפילה הראשונה (9 מ'): 9+9 = 18 מטרים.

תשובה: 18 מטרים.

1. בסעיף ג' חושב שהמרחק הכולל, על אף אינסוף הקפיצות, הוא 18 מטר — מספר סופי.
2. הסיבה המתמטית: גבהי הקפיצות hₙ יוצרים סדרה הנדסית עם |q|=1/3<1, ולכן הם קטנים במהירות ושואפים ל-0; סכומם האינסופי מתכנס לערך סופי (נוסחת סכום סדרה הנדסית אינסופית מוגדרת בדיוק כאשר |q|<1).
3. לכן טענת העובד שגויה: אינסוף קפיצות אינו גורר בהכרח מרחק אינסופי — כאן, למרות שמספר הקפיצות אינסופי, סכום המרחקים מתכנס למספר סופי (18 מ').

תשובה: לא צודק — המרחק הכולל סופי (18 מטר), למרות אינסוף הקפיצות.

1. יש למצוא את n הטבעי הקטן ביותר שעבורו hₙ = 9·(1/3)ⁿ < 0.01, כלומר 9/3ⁿ < 0.01.
2. נסדר את האי-שוויון: נכפול את שני האגפים ב-3ⁿ ונחלק ב-0.01, ונקבל 3ⁿ > 900.
3. נבדוק חזקות של 3: 3⁶ = 729 (קטן מ-900, אינו מספיק), 3⁷ = 2187 (גדול מ-900). לכן הערך הקטן ביותר של n המקיים את האי-שוויון הוא n=7.
4. בדיקה: h₆ = 9/729 ≈ 0.0123 מ' (עדיין מעל 1 ס"מ), h₇ = 9/2187 ≈ 0.0041 מ' (מתחת ל-1 ס"מ) — מתאים.

תשובה: n = 7.