פער עלויות — הוכחת מינימום · מתכונת 35472

1. נגזרת eˣ היא eˣ, ונגזרת −x−1 היא −1, ולכן f'(x) = eˣ−1.
2. נשווה ל-0: eˣ−1=0, כלומר eˣ=1, ומכאן x=0 (הפתרון היחיד, כי eˣ=1 מתקיים אך ורק עבור x=0).

תשובה: f'(x)=eˣ−1; נקודת החשד: x=0.

1. עבור x<0: eˣ<e⁰=1, ולכן f'(x)=eˣ−1<0 — הפונקציה יורדת.
2. עבור x>0: eˣ>e⁰=1, ולכן f'(x)=eˣ−1>0 — הפונקציה עולה.
3. מכיוון שהנגזרת עוברת מסימן שלילי לסימן חיובי בדיוק ב-x=0, זוהי נקודת מינימום מקומית.

תשובה: f'(x)<0 עבור x<0 ו-f'(x)>0 עבור x>0; x=0 נקודת מינימום.

1. נציב x=0: f(0) = e⁰−0−1 = 1−0−1 = 0.
2. מסעיף ב', הפונקציה יורדת לכל x<0 ועולה לכל x>0, ואין לה אף נקודת קיצון נוספת (זוהי הנקודה היחידה שבה f'(x)=0). לכן x=0 היא לא רק מינימום מקומי אלא מינימום גלובלי (הערך הקטן ביותר של f על פני כל הישר הממשי).
3. מכיוון שהערך המינימלי של f הוא f(0)=0, לכל x אחר מתקיים f(x)≥f(0)=0. כלומר f(x)≥0 לכל x ממשי — וזוהי בדיוק ההוכחה המבוקשת (eˣ−x−1≥0 לכל x, כלומר eˣ≥x+1 לכל x).

תשובה: f(0)=0; מכיוון שזו נקודת המינימום היחידה (הגלובלית) של f, מתקיים f(x)≥0 לכל x.

1. מסעיף ג' ידוע כי eˣ≥x+1 לכל x ממשי.
2. מכיוון ש-1>0, מתקיים x+1>x לכל x (זהו אי-שוויון פשוט וטריוויאלי, נכון תמיד).
3. נשרשר את שני אי-השוויונים: eˣ≥x+1>x, ומכאן eˣ>x לכל x ממשי — אי-שוויון חזק (ממש), כנדרש.

תשובה: eˣ≥x+1>x לכל x, ולכן eˣ>x לכל x.

1. נבחן את f(x)=eˣ−x−1 כאשר x שואף למינוס אינסוף: האיבר eˣ שואף ל-0 (מתקרב לאפס מלמעלה), ואילו האיבר −x שואף לפלוס אינסוף (כי x שלילי וגדול בערכו המוחלט, ולכן −x חיובי וגדול).
2. לכן f(x) = eˣ−x−1 → 0−(−∞)−1, כלומר f(x) שואפת לפלוס אינסוף כאשר x שואף למינוס אינסוף — לא לשלילי.
3. תוצאה זו עקבית לגמרי עם סעיף ב': הפונקציה יורדת בדיוק בתחום x<0, כלומר ערכיה גדולים ככל שמתרחקים שמאלה (לכיוון מינוס אינסוף), ולא קטנים. לכן טענת התלמיד שגויה — f(x) לעולם אינה מקבלת ערכים שליליים, ורחוק שמאלה היא דווקא גדלה ללא גבול.

תשובה: לא צדק — כאשר x שואף למינוס אינסוף, f(x) שואפת לאינסוף (לא יורדת לשלילי).