שביעות רצון — ln עם פרמטר · מתכונת 35472

1. נציב x=4: f(4) = ln(4+a). לפי הנתון, f(4)=ln9, ולכן ln(4+a) = ln9.
2. מכיוון שפונקציית ln חד-חד-ערכית (הופכית), מתקיים 4+a=9, ומכאן a=5.

תשובה: a = 5.

1. פונקציית ln מוגדרת רק כאשר הביטוי בתוכה חיובי ממש: x+5>0, כלומר x>−5.

תשובה: x > −5.

1. כאשר x שואף ל−5 מימין (x→−5⁺), הביטוי x+5 שואף ל-0⁺ (חיובי וקטן), ולכן ln(x+5) שואף ל−∞.
2. לכן הישר x=−5 הוא אסימפטוטה אנכית של גרף f.

תשובה: x = −5.

1. נגזרת ln(u) היא u'/u, כאשר u=x+5, u'=1. לכן f'(x) = 1/(x+5).
2. בתחום ההגדרה מתקיים x>−5, ולכן x+5>0. מכאן f'(x)=1/(x+5)>0 לכל x בתחום ההגדרה, כלומר f עולה בכל תחום הגדרתה.

תשובה: f'(x) = 1/(x+5); f'(x)>0 לכל x בתחום ההגדרה, ולכן f עולה תמיד.

1. כאשר x→∞, גם x+5→∞. פונקציית ln אינה חסומה מלעיל — ln(u)→∞ כאשר u→∞, גם אם בקצב אטי מאוד.
2. לכן f(x)=ln(x+5)→∞ כאשר x→∞ — הפונקציה ממשיכה לגדול ללא גבול, ואינה מתייצבת סביב שום ערך קבוע.
3. לכן טענת הלקוח שגויה: אין לגרף f אסימפטוטה אופקית, ומדד שביעות הרצון ממשיך לעלות (אמנם לאט יותר ויותר) גם עבור ותק גדול מאוד, ואינו מתקרב לערך גבול קבוע.

תשובה: לא צדק — f(x)→∞ כאשר x→∞, ואין לגרף אסימפטוטה אופקית.