שאלון 35472פרק ב' — חדו"א של פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות33 נקודות · קלה יחסית
מדד שביעות רצון לקוחות (בסולם יחסי) של שירות מנוי, כתלות בוותק המנוי x (בחודשים), מתואר על ידי המודל f(x) = ln(x + a), כאשר a פרמטר חיובי. נתון כי לאחר 4 חודשי מנוי (x=4), מדד שביעות הרצון הוא ln9.
א.הציבו x=4 בפונקציה והשוו לערך הנתון f(4)=ln9. מצאו את ערך הפרמטר a.
6 נק׳הציגו פתרון
- נציב x=4: f(4) = ln(4+a). לפי הנתון, f(4)=ln9, ולכן ln(4+a) = ln9.
- מכיוון שפונקציית ln חד-חד-ערכית (הופכית), מתקיים 4+a=9, ומכאן a=5.
תשובה: a = 5.
ב.מצאו את תחום ההגדרה של f(x)=ln(x+5).
5 נק׳הציגו פתרון
- פונקציית ln מוגדרת רק כאשר הביטוי בתוכה חיובי ממש: x+5>0, כלומר x>−5.
תשובה: x > −5.
ג.רשמו את משוואת האסימפטוטה האנכית של גרף f, ונמקו את קיומה באמצעות גבול.
6 נק׳הציגו פתרון
- כאשר x שואף ל−5 מימין (x→−5⁺), הביטוי x+5 שואף ל-0⁺ (חיובי וקטן), ולכן ln(x+5) שואף ל−∞.
- לכן הישר x=−5 הוא אסימפטוטה אנכית של גרף f.
תשובה: x = −5.
ד.מצאו את f'(x), והוכיחו כי f עולה בכל תחום הגדרתה.
7 נק׳הציגו פתרון
- נגזרת ln(u) היא u'/u, כאשר u=x+5, u'=1. לכן f'(x) = 1/(x+5).
- בתחום ההגדרה מתקיים x>−5, ולכן x+5>0. מכאן f'(x)=1/(x+5)>0 לכל x בתחום ההגדרה, כלומר f עולה בכל תחום הגדרתה.
תשובה: f'(x) = 1/(x+5); f'(x)>0 לכל x בתחום ההגדרה, ולכן f עולה תמיד.
ה.לקוח טוען שככל שהוותק x גדל ללא גבול, מדד שביעות הרצון f(x) יתקרב לערך קבוע ("יתייצב"), בדומה להתנהגות ליד אסימפטוטה אופקית. האם צדק? נמקו באמצעות בחינת ההתנהגות של f(x)=ln(x+5) כאשר x→∞, בעזרת העובדה שפונקציית ln אינה חסומה מלעיל (גדלה ללא גבול, גם אם לאט).
9 נק׳הציגו פתרון
- כאשר x→∞, גם x+5→∞. פונקציית ln אינה חסומה מלעיל — ln(u)→∞ כאשר u→∞, גם אם בקצב אטי מאוד.
- לכן f(x)=ln(x+5)→∞ כאשר x→∞ — הפונקציה ממשיכה לגדול ללא גבול, ואינה מתייצבת סביב שום ערך קבוע.
- לכן טענת הלקוח שגויה: אין לגרף f אסימפטוטה אופקית, ומדד שביעות הרצון ממשיך לעלות (אמנם לאט יותר ויותר) גם עבור ותק גדול מאוד, ואינו מתקרב לערך גבול קבוע.
תשובה: לא צדק — f(x)→∞ כאשר x→∞, ואין לגרף אסימפטוטה אופקית.
חלוקת הנקודות בין הסעיפים היא הערכה פנימית של MathHero — בשאלון הרשמי הניקוד ניתן לשאלה כולה.