שאלת מתכונת — שאלון 35472

1. נציב x=0 בפונקציה ונשווה לערך הנתון: f(0) = e⁰/(e⁰ + k) = 1/(1+k) = 1/4.
2. נפתור: 1+k = 4, ומכאן k = 3.

תשובה: k = 3.

1. כאשר x→∞: נחלק מונה ומכנה ב-eˣ: f(x) = 1/(1 + 3e⁻ˣ). מכיוון ש-e⁻ˣ→0, מתקבל f(x)→1/(1+0)=1. אסימפטוטה: y=1.
2. כאשר x→−∞: eˣ→0, ולכן f(x)→0/(0+3)=0. אסימפטוטה: y=0.

תשובה: y = 1 (כאשר x→∞) ו-y = 0 (כאשר x→−∞).

1. כלל המנה: (u/v)' = (u'v − uv')/v², כאשר u=eˣ, u'=eˣ, v=eˣ+3, v'=eˣ.
2. f'(x) = [eˣ·(eˣ+3) − eˣ·eˣ] / (eˣ+3)² = [e²ˣ + 3eˣ − e²ˣ] / (eˣ+3)² = 3eˣ/(eˣ+3)².
3. המונה 3eˣ חיובי לכל x, והמכנה (eˣ+3)² חיובי לכל x (ריבוע ומכנה שאינו מתאפס), ולכן f'(x)>0 לכל x — הפונקציה עולה בכל תחום ההגדרה.

תשובה: f'(x) = 3eˣ/(eˣ+3)²; f'(x)>0 לכל x, ולכן f עולה תמיד.

1. מסעיף ב' וג': f עולה תמיד, עם אסימפטוטה תחתונה y=0 (לא מתקבלת) ואסימפטוטה עליונה y=1 (לא מתקבלת), ולכן תחום הערכים של f הוא הקטע הפתוח (0, 1).
2. מכיוון ש-2 אינו נמצא בקטע (0,1), אין ערך x שעבורו f(x)=2, ולכן למשוואה אין פתרון.

תשובה: אין פתרון.

1. נבדוק אם קיים פתרון למשוואה f(x)=1: eˣ/(eˣ+3) = 1 גורר eˣ = eˣ+3, כלומר 0=3 — סתירה.
2. מכיוון שהמשוואה f(x)=1 מובילה לסתירה, אין x שעבורו f(x)=1 בדיוק. y=1 היא אסימפטוטה אופקית בלבד — הגרף מתקרב אליה אך אינו נוגע בה.
3. לכן טענת עידו שגויה.

תשובה: לא צדק — הגרף לעולם אינו מגיע ל-y=1.