שאלת מתכונת — שאלון 35472

1. נציב t=2 בנוסחה: M(2) = M₀ · q² = 76,800.
2. נחלק ב-M₀=120,000: q² = 76,800/120,000 = 0.64.
3. נוציא שורש (q חיובי, כמנת דעיכה): q = √0.64 = 0.8. מכיוון ש-q=0.8=1−0.2, שווי הרכב יורד ב-20% בכל שנה.

תשובה: q = 0.8, כלומר ירידה של 20% בשנה.

1. לפי הנתונים והתוצאה מסעיף א': M(t) = 120,000 · 0.8ᵗ.
2. נציב t=3: M(3) = 120,000 · 0.8³ = 120,000 · 0.512 = 61,440 ש"ח.

תשובה: M(t) = 120,000 · 0.8ᵗ; M(3) = 61,440 ש"ח.

1. יש לפתור את אי-השוויון 120,000 · 0.8ᵗ < 30,000, כלומר 0.8ᵗ < 0.25.
2. נפעיל ln על שני האגפים: t · ln(0.8) < ln(0.25). מכיוון ש-ln(0.8) שלילי, בחלוקה בו הופכים את כיוון אי-השוויון: t > ln(0.25)/ln(0.8) ≈ (−1.386)/(−0.223) ≈ 6.21.
3. נבדוק שנים שלמות סמוכות: M(6) = 120,000·0.8⁶ = 120,000·0.262144 = 31,457.28 ש"ח (עדיין מעל 30,000), ואילו M(7) = 120,000·0.8⁷ = 120,000·0.2097152 = 25,165.82 ש"ח (מתחת ל-30,000).
4. לכן השנה השלמה הראשונה שבה השווי יורד מתחת ל-30,000 ש"ח היא השנה השביעית (t=7).

תשובה: לאחר 7 שנים.

1. שווי הרכב המקורי כעבור 3 שנים חושב בסעיף ב': M(3) = 61,440 ש"ח.
2. שווי הרכב השני כעבור 3 שנים: M₂(3) = 120,000 · 0.75³ = 120,000 · 0.421875 = 50,625 ש"ח.
3. מכיוון ש-50,625 < 61,440, הרכב השני (שדועך ב-25% בשנה) שווה פחות בתום 3 שנים, למרות ששני הרכבים נרכשו באותו מחיר התחלתי.

תשובה: הרכב השני שווה פחות (50,625 ש"ח לעומת 61,440 ש"ח).

1. לכל t (מספר סופי), 0.8ᵗ הוא מכפלה של מספרים חיוביים, ולכן 0.8ᵗ > 0 עבור כל t, ומכאן גם M(t) = 120,000 · 0.8ᵗ > 0 לכל t.
2. ככל שt גדל, הערך 0.8ᵗ שואף ל-0 (כי 0<0.8<1), אך אינו מגיע אליו בדיוק בשום שלב סופי — הישר M=0 (הציר האופקי) הוא אסימפטוטה אופקית של הפונקציה, לא ערך המתקבל בפועל.
3. לכן, לפי המודל המעריכי הטהור, שווי הרכב לעולם אינו מגיע בדיוק ל-0 ש"ח, אף שהוא הולך וקטן לכיוון 0 ככל שחולפות השנים.

תשובה: לא — לפי המודל השווי לעולם לא מגיע בדיוק ל-0.