חברת שיווק דיגיטלי בוחנת את עקומת האפקטיביות המצטברת של קמפיין פרסומי חדש, המתוארת על ידי הפונקציה f(x) = ln x, כאשר x מספר הימים היחסי מאז השקת הקמפיין (x≥1, כך ש-x=1 מייצג את יום ההשקה עצמו). האנליסטית מגדירה את "האפקט המצטבר" עד יום כלשהו x=c (כאשר c>1) כשטח הכלוא בין גרף f לבין ציר ה-x, בתחום 1≤x≤c.
הציגו פתרון
- פונקציית ln עולה, ומתקיים ln(1)=0. לכן לכל x≥1 מתקיים ln x≥ln 1=0.
- בפרט, בתחום 1≤x≤c (c>1) מתקיים ln x≥0 — הגרף נמצא מעל או על ציר ה-x לאורך כל התחום, ולכן השטח שווה ישירות לאינטגרל המסוים ∫₁ᶜ ln x dx, ללא צורך בערך מוחלט או בפיצול לתת-תחומים.
תשובה: ln x≥0 עבור x≥1, ולכן ניתן לחשב ישירות בלי ערך מוחלט.
הציגו פתרון
- בדיקה: F'(x) = (x·ln x)' − (x)' = [1·ln x + x·(1/x)] − 1 = [ln x+1]−1 = ln x = f(x) ✓.
- לפי משפט ניוטון-לייבניץ: S(c) = F(c) − F(1) = (c·ln c − c) − (1·ln 1 − 1).
- מכיוון ש-ln 1=0: F(1) = 1·0 − 1 = −1. לכן S(c) = (c·ln c − c) − (−1) = c·ln c − c + 1.
תשובה: S(c) = c·ln c − c + 1.
הציגו פתרון
- לפי המשפט היסודי של החדו"א, מכיוון ש-S(c)=∫₁ᶜ ln x dx, מתקיים S'(c)=ln c ישירות.
- לחלופין, גזירה ישירה של הביטוי המפורש מסעיף ב': S'(c) = (c·ln c − c + 1)' = [1·ln c + c·(1/c)] − 1 + 0 = ln c + 1 − 1 = ln c — תואם.
- עבור c>1 מתקיים ln c>0, ולכן S'(c)>0, כלומר S עולה ממש עבור c>1.
- המשמעות המעשית: ככל שהקמפיין ממשיך יותר ימים (c גדל), האפקט המצטבר רק הולך וגדל — אף פעם אינו קטן, כל עוד f(x)=ln x אי-שלילית בתחום.
תשובה: S'(c)=ln c>0 עבור c>1, ולכן S עולה ממש; משמעות: האפקט המצטבר תמיד גדל עם הזמן.
הציגו פתרון
- נציב c=e³ בנוסחה מסעיף ב': S(e³) = e³·ln(e³) − e³ + 1.
- מכיוון ש-ln(e³)=3: S(e³) = e³·3 − e³ + 1 = 3e³ − e³ + 1 = 2e³ + 1 — תואם בדיוק לערך הנתון.
- מסעיף ג', S(c) עולה ממש עבור c>1, ופונקציה עולה ממש היא חד-חד-ערכית (כל ערך מתקבל לכל היותר פעם אחת). לכן קיים לכל היותר פתרון אחד למשוואה S(c)=2e³+1, ומכיוון שמצאנו פתרון אחד (c=e³), זהו בהכרח הפתרון היחיד.
תשובה: c=e³ מקיים S(e³)=2e³+1, וזהו הפתרון היחיד כי S עולה ממש (חד-חד-ערכית).
הציגו פתרון
- נחשב S(2e³) = 2e³·ln(2e³) − 2e³ + 1. לפי חוקי לוגריתם: ln(2e³) = ln2 + ln(e³) = ln2 + 3.
- S(2e³) = 2e³·(ln2+3) − 2e³ + 1 = 2e³·ln2 + 6e³ − 2e³ + 1 = 2e³·ln2 + 4e³ + 1.
- מסעיף ד', S(e³)=2e³+1, ולכן 2·S(e³) = 4e³+2.
- נשווה: S(2e³) − 2·S(e³) = [2e³ln2+4e³+1] − [4e³+2] = 2e³ln2 − 1. מכיוון ש-e³≈20.09 ו-ln2≈0.693, הביטוי 2e³ln2≈27.8, ומינוס 1 עדיין חיובי בבירור.
- לכן S(2e³) > 2·S(e³) ממש — האפקט המצטבר בהכפלת משך הקמפיין גדול אף יותר מכפול, לא שווה לו. טענת היועץ שגויה, וגם כיוון הטעות שלו שגוי (הוא מעריך בחסר, לא ביתר): פונקציית השטח S(c)=c·ln c−c+1 אינה ליניארית ב-c, ולכן הכפלת c אינה מכפילה את S(c) בדיוק.
תשובה: לא צדק — S(2e³)=2e³ln2+4e³+1, בעוד ש-2·S(e³)=4e³+2, וההפרש ביניהם (2e³ln2−1) חיובי — כלומר S(2e³) גדול אף יותר מכפול.
חלוקת הנקודות בין הסעיפים היא הערכה פנימית של GeekHero — בשאלון הרשמי הניקוד ניתן לשאלה כולה.