שאלון 35472פרק א' — סדרות, וקטורים וגדילה ודעיכה33 נקודות · מאתגרת
בפארק עירוני ממוקמות מספר תחנות שירות במערכת צירים (יחידות: עשרות מטרים). עמדת המים נמצאת בנקודה A(2,1), עמדת השכרת האופניים בנקודה B(6,4), ופינת הישיבה בנקודה C(2,6). מתכננת הפארק בודקת גם אם ניתן למקם תחנת מידע נוספת בנקודה G(14,10) על אותו שביל ישר כמו A ו-B.
א.רשמו את הווקטורים AB ו-AC כווקטורי קואורדינטות, ומצאו את אורכיהם |AB| ו-|AC|.
6 נק׳הציגו פתרון
- AB = B−A = (6,4)−(2,1) = (4,3). |AB| = √(4²+3²) = √(16+9) = √25 = 5.
- AC = C−A = (2,6)−(2,1) = (0,5). |AC| = √(0²+5²) = √25 = 5.
תשובה: AB=(4,3), |AB|=5; AC=(0,5), |AC|=5.
ב.מצאו, באמצעות מכפלה סקלרית, את הקוסינוס של הזווית BAC (הזווית הנוצרת בנקודה A בין השביל לעמדת האופניים לבין השביל לפינת הישיבה).
6 נק׳הציגו פתרון
- מכפלה סקלרית רכיב-רכיב: AB·AC = (4)(0)+(3)(5) = 0+15 = 15.
- נוסחת הזווית בין וקטורים: cosθ = (AB·AC)/(|AB|·|AC|). נציב את תוצאות סעיף א': cosθ = 15/(5·5) = 15/25 = 3/5.
תשובה: cosθ = 3/5.
ג.מצאו את sinθ (ללא חישוב הזווית במעלות), ובעזרתו את שטח המשולש ABC, לפי הנוסחה שטח = ½·|AB|·|AC|·sinθ.
6 נק׳הציגו פתרון
- לפי הזהות sin²θ+cos²θ=1: sinθ = √(1−(3/5)²) = √(1−9/25) = √(16/25) = 4/5 (חיובי, כי 0°<θ<180°).
- שטח = ½·|AB|·|AC|·sinθ = ½·5·5·(4/5) = ½·5·4 = 10.
תשובה: sinθ = 4/5; שטח ABC = 10 (יחידות שטח).
ד.בדקו האם ניתן למקם את תחנת המידע החדשה G(14,10) על אותו שביל ישר כמו A ו-B. הוכיחו זאת באמצעות וקטורים — הראו כי AG ו-AB הם כפולות סקלריות זו של זו, ומכאן ש-A, B ו-G קולינאריות.
7 נק׳הציגו פתרון
- AG = G−A = (14,10)−(2,1) = (12,9).
- נבדוק אם AG הוא כפולה סקלרית של AB=(4,3): (12,9) = 3·(4,3) = (12,9) ✓ — אכן AG=3·AB.
- מכיוון שהווקטורים AG ו-AB מקבילים (כפולה סקלרית זה של זה) ובעלי נקודת התחלה משותפת A, הנקודות A, B ו-G נמצאות כולן על אותו ישר — קולינאריות.
תשובה: AG = 3·AB, ולכן A, B, G קולינאריות.
ה.יועץ הפארק טוען שגם A, B ו-C (משלושת הסעיפים הראשונים) קולינאריות, כי כולן "שייכות לאותו אזור בפארק". האם צדק? הוכיחו או הפריכו באמצעות אותה שיטת בדיקת כפולות סקלריות שהופעלה בסעיף ד'.
8 נק׳הציגו פתרון
- נבדוק אם AC=(0,5) הוא כפולה סקלרית של AB=(4,3): אילו התקיים AC=k·AB עבור k כלשהו, היה צריך 0=4k (ומכאן k=0) וגם 5=3k=3·0=0 — סתירה.
- מכיוון שאין k המקיים את שני התנאים בו-זמנית, הווקטורים AB ו-AC אינם כפולה סקלרית זה של זה, ולכן אינם מקבילים.
- תוצאה זו עקבית עם סעיפים ב'-ג', שם נמצא כי הזווית ביניהם ממשית (cosθ=3/5, לא ±1) ושטח המשולש ABC חיובי (10, לא אפס) — משולש בעל שטח חיובי אינו יכול להיות "משולש" של שלוש נקודות קולינאריות. לכן A, B ו-C אינן קולינאריות, וטענת היועץ שגויה.
תשובה: לא צדק — A, B, C אינן קולינאריות.
חלוקת הנקודות בין הסעיפים היא הערכה פנימית של MathHero — בשאלון הרשמי הניקוד ניתן לשאלה כולה.