רווח נקי — e²ˣ − eˣ · מתכונת 35472

1. לפי חוקי חזקות, e²ˣ = (eˣ)².
2. לכן f(x) = (eˣ)² − eˣ = eˣ·eˣ − eˣ = eˣ·(eˣ−1) (הוצאת eˣ כגורם משותף).

תשובה: f(x)=eˣ(eˣ−1).

1. לפי הצורה המפורקת: eˣ·(eˣ−1)=0.
2. מכיוון ש-eˣ>0 לכל x (אף פעם לא מתאפס), חייב להתקיים eˣ−1=0, כלומר eˣ=1, ומכאן x=0.
3. לכן ל-f יש שורש יחיד: x=0.

תשובה: x=0 (שורש יחיד).

1. f'(x) = 2e²ˣ − eˣ (הנגזרת של e²ˣ לפי כלל השרשרת היא 2e²ˣ, והנגזרת של eˣ היא eˣ).
2. נוציא eˣ כגורם משותף: f'(x) = eˣ·(2eˣ−1).

תשובה: f'(x)=2e²ˣ−eˣ=eˣ(2eˣ−1).

1. נשווה f'(x)=0: eˣ(2eˣ−1)=0. מכיוון ש-eˣ>0 תמיד, חייב להתקיים 2eˣ−1=0, כלומר eˣ=1/2, ומכאן x=ln(1/2)=−ln2.
2. נבדוק סימן: עבור x<−ln2, מתקיים eˣ<1/2, ולכן 2eˣ−1<0, ומכאן f'(x)<0 (יורדת). עבור x>−ln2, מתקיים eˣ>1/2, ולכן 2eˣ−1>0, ומכאן f'(x)>0 (עולה).
3. מכיוון שהנגזרת עוברת משלילית לחיובית, x=−ln2 היא נקודת מינימום. נציב את eˣ=1/2 (שמצאנו זה עתה) בצורה המפורקת מסעיף א': f(−ln2) = (eˣ)²−eˣ = (1/2)²−(1/2) = 1/4−1/2 = −1/4.
4. לסיכום: f יורדת ב-x<−ln2, עולה ב-x>−ln2, ונקודת המינימום היא (−ln2, −1/4).

תשובה: נקודת מינימום (−ln2, −1/4); f יורדת ב-x<−ln2 ועולה ב-x>−ln2.

1. f(0)=0 (מהגדרת השורש בסעיף ב'), ו-f(−ln2)=−1/4 (מסעיף ד'). מכיוון ש-−1/4<0, מתקיים f(−ln2)<f(0), ולא ההפך.
2. ניתן להסביר זאת גם דרך המיקום: מכיוון ש-ln2>0, מתקיים −ln2<0, כלומר נקודת המינימום נמצאת משמאל לשורש x=0. מסעיף ד' הפונקציה עולה בכל התחום x>−ln2 (הכולל את x=0), ולכן f(0) גדול מ-f(−ln2) — כלומר ערך המינימום נמוך מהערך בשורש, לא גבוה ממנו.
3. לכן טענת היועץ שגויה.

תשובה: לא צדק — נהפוך הוא: f(−ln2)=−1/4 < f(0)=0.