שאלת מתכונת — שאלון 35472

1. נתון a₁=18 ו-a₁₀=54, ומתקיים a₁₀=a₁+9d.
2. נציב: 54 = 18 + 9d, כלומר 9d=36, ומכאן d=4.
3. הנוסחה הכללית: aₙ = a₁ + (n−1)d = 18 + 4(n−1) = 4n + 14.

תשובה: d=4; aₙ = 4n + 14.

1. נמצא תחילה את a₁₂ = 4·12+14 = 62.
2. נוסחת הסכום: S₁₂ = 12/2 · (a₁+a₁₂) = 6·(18+62) = 6·80 = 480.

תשובה: 480 מושבים.

1. נפתור aₙ=78: 4n+14=78, כלומר 4n=64, ומכאן n=16.

תשובה: בשורה ה-16.

1. נוסחת הסכום הכללית: Sₙ = n/2·(a₁+aₙ) = n/2·(18+4n+14) = n/2·(4n+32) = 2n²+16n.
2. יש לפתור 2n²+16n > 600, כלומר (בחלוקה ב-2) n²+8n−300 > 0.
3. לפי נוסחת השורשים: n = (−8+√(64+1200))/2 = (−8+√1264)/2 ≈ (−8+35.55)/2 ≈ 13.78. מכיוון ש-n חייב להיות טבעי, המועמד הקטן ביותר הוא n=14.
4. בדיקה ישירה: S₁₃ = 2·13²+16·13 = 338+208 = 546 (עדיין מתחת ל-600), ואילו S₁₄ = 2·14²+16·14 = 392+224 = 616 (כבר מעל 600). לכן n=14 הוא אכן המספר המינימלי הנדרש.

תשובה: n=14 שורות.

1. נחשב a₂₀ = 4·20+14 = 94, ו-a₁₀=54 (נתון), ולכן 2·a₁₀ = 108.
2. מכיוון ש-94 < 108, מתקיים a₂₀ < 2·a₁₀, ולא ההפך.
3. ההסבר הכללי: בסדרה חשבונית האיברים גדלים באופן ליניארי (בתוספת קבועה בכל צעד), לא באופן פרופורציונלי-כפול — הכפלת מספר השורה (מ-10 ל-20) אינה מכפילה את מספר המושבים, מכיוון שהאיבר הקבוע a₁=18 אינו גדל יחד עם n. לכן טענת האדריכל שגויה.

תשובה: לא צדק — a₂₀=94, בעוד ש-2·a₁₀=108.