רווח מיזם — נגזרת (x−2)eˣ · מתכונת 35472

1. הביטוי (x−2) הוא פולינום, המוגדר לכל x, וגם eˣ מוגדרת לכל x.
2. מכפלה של שני ביטויים המוגדרים לכל x מוגדרת אף היא לכל x, ולכן תחום ההגדרה הוא כל הממשיים.

תשובה: כל הממשיים, x ∈ ℝ.

1. כלל המכפלה: (u·v)' = u'v + uv', כאשר u = x−2, u' = 1, v = eˣ, v' = eˣ.
2. f'(x) = 1·eˣ + (x−2)·eˣ = eˣ·[1 + (x−2)] = eˣ·(x − 1).

תשובה: f'(x) = eˣ·(x − 1).

1. נשווה את f'(x)=0: eˣ·(x−1)=0. מכיוון ש-eˣ>0 תמיד, מתקבל x−1=0, כלומר x=1.
2. נבדוק את סימן f' משני צדי x=1: עבור x<1, (x−1)<0 ו-eˣ>0, ולכן f'(x)<0 (הפונקציה יורדת). עבור x>1, (x−1)>0, ולכן f'(x)>0 (הפונקציה עולה).
3. מכיוון שהנגזרת עוברת מסימן שלילי לחיובי, x=1 היא נקודת מינימום. f(1) = (1−2)·e¹ = −e.
4. לסיכום: f יורדת בתחום x<1, ועולה בתחום x>1, ונקודת המינימום היא (1, −e).

תשובה: נקודת מינימום (1, −e); f יורדת ב-x<1 ועולה ב-x>1.

1. נחשב את f(0) = (0−2)·e⁰ = −2·1 = −2.
2. נחשב את f'(0) = e⁰·(0−1) = 1·(−1) = −1.
3. משוואת המשיק: y − f(0) = f'(0)·(x−0), כלומר y − (−2) = −1·x, ומכאן y = −x − 2.

תשובה: y = −x − 2.

1. בסעיף ג' מצאנו שהפונקציה יורדת בכל תחום x<1.
2. כל x שלילי מקיים x<0<1, ולכן כל x שלילי נמצא בתחום הירידה של הפונקציה, לא בתחום העלייה.
3. לכן טענת רן שגויה: הפונקציה f יורדת (ולא עולה) לכל x שלילי.

תשובה: לא צדק — f יורדת לכל x שלילי.