שאלת מתכונת — שאלון 35472

1. a₂ = 2a₁−3 = 2·5−3 = 7.
2. a₃ = 2a₂−3 = 2·7−3 = 11.
3. a₄ = 2a₃−3 = 2·11−3 = 19.
4. ההפרשים בין איברים עוקבים: a₂−a₁=2, a₃−a₂=4, a₄−a₃=8 — אינם שווים זה לזה, ולכן הסדרה אינה סדרה חשבונית (וגם אינה הנדסית פשוטה, שכן גם היחסים בין איברים עוקבים אינם שווים: 7/5≠11/7).

תשובה: a₂=7, a₃=11, a₄=19; ההפרשים אינם שווים (2,4,8) — לא חשבונית.

1. לפי ההגדרה bₙ=aₙ−3, ולכן bₙ₊₁=aₙ₊₁−3.
2. נציב את כלל הנסיגה aₙ₊₁=2aₙ−3: bₙ₊₁ = (2aₙ−3)−3 = 2aₙ−6 = 2(aₙ−3) = 2bₙ.
3. קיבלנו bₙ₊₁=2bₙ לכל n, ולכן bₙ היא סדרה הנדסית עם מנה q=2.
4. b₁ = a₁−3 = 5−3 = 2.

תשובה: bₙ₊₁=2bₙ (הנדסית); b₁=2, q=2.

1. נוסחת האיבר הכללי לסדרה הנדסית: bₙ = b₁·qⁿ⁻¹ = 2·2ⁿ⁻¹ = 2ⁿ.
2. מכיוון ש-bₙ=aₙ−3, מתקבל aₙ = bₙ+3 = 2ⁿ+3.
3. בדיקה מול סעיף א': a₄ = 2⁴+3 = 16+3 = 19 — תואם בדיוק לערך שחושב ישירות מכלל הנסיגה.

תשובה: bₙ=2ⁿ; aₙ=2ⁿ+3; בדיקה: a₄=2⁴+3=19 ✓.

1. Sₙ = Σaₖ (מ-k=1 עד n) = Σ(2ᵏ+3) = Σ2ᵏ + 3n = (2ⁿ⁺¹−2) + 3n (סכום הסדרה ההנדסית 2¹+2²+...+2ⁿ הוא 2ⁿ⁺¹−2, ובנוסף n פעמים המספר 3).
2. נציב n=6: S₆ = (2⁷−2) + 3·6 = (128−2)+18 = 126+18 = 144.
3. בדיקה: a₁ עד a₆ הם 5,7,11,19,35,67 (a₅=2·19−3=35, a₆=2·35−3=67), וסכומם 5+7+11+19+35+67=144 — תואם.

תשובה: Sₙ=2ⁿ⁺¹−2+3n; S₆=144.

1. נבדוק אם קיים n טבעי כך ש-aₙ=259: 2ⁿ+3=259, כלומר 2ⁿ=256.
2. מכיוון ש-256=2⁸, מתקבל n=8, שהוא אכן מספר טבעי.
3. לכן כן — 259 הוא איבר בסדרה, והוא האיבר השמיני: a₈=259.

תשובה: כן, 259=a₈ (n=8).