שאלת מתכונת — שאלון 35472

1. הביטוי e⁻ˣ מוגדר לכל x ממשי (הפונקציה המעריכית מוגדרת בכל מקום).
2. לכל בסיס חיובי (כאן e>0) וכל מעריך ממשי, החזקה חיובית ממש: e⁻ˣ>0 לכל x. לכן הגרף כולו נמצא מעל ציר ה-x, ואפשר לחשב שטחים תחתיו באמצעות אינטגרל ישיר, בלי צורך בערך מוחלט.

תשובה: כל הממשיים; e⁻ˣ>0 לכל x, כי מדובר בחזקה של e.

1. נגזור את F(x)=−e⁻ˣ לפי כלל השרשרת: הנגזרת של e⁻ˣ (עם הנגזרת הפנימית של −x שהיא −1) היא −e⁻ˣ, ולכן הנגזרת של F(x)=−e⁻ˣ היא F'(x) = −(−e⁻ˣ) = e⁻ˣ.
2. התקבל F'(x)=e⁻ˣ=f(x), בדיוק כנדרש, ולכן F(x) היא אכן פונקציה קדומה של f.

תשובה: F'(x) = e⁻ˣ = f(x) ✓.

1. לפי משפט ניוטון-לייבניץ, השטח שווה ל-∫₀² e⁻ˣ dx = F(2)−F(0), כאשר F(x)=−e⁻ˣ (מסעיף ב').
2. F(2) = −e⁻². F(0) = −e⁰ = −1.
3. שטח = F(2)−F(0) = −e⁻²−(−1) = 1−e⁻².

תשובה: 1−e⁻².

1. מכיוון ש-f יורדת (e⁻ˣ פונקציה יורדת), הערך הקטן ביותר שלה בתחום [0,2] הוא בדיוק בקצה הימני, f(2)=e⁻². לכן f(x)≥e⁻² לכל 0≤x≤2, וניתן לחשב את השטח בין הגרף לישר ישירות (בלי ערך מוחלט) כאינטגרל של ההפרש.
2. שטח = ∫₀²(e⁻ˣ−e⁻²)dx = ∫₀² e⁻ˣdx − e⁻²·∫₀²1dx = (1−e⁻²) − e⁻²·2 = 1−e⁻²−2e⁻² = 1−3e⁻².

תשובה: 1−3e⁻².

1. שטח המלבן שגובהו e⁻² ורוחבו 2 (בתחום [0,2]) הוא 2·e⁻² = 2e⁻².
2. נחבר את שטח סעיף ד' עם שטח המלבן: (1−3e⁻²) + 2e⁻² = 1−3e⁻²+2e⁻² = 1−e⁻².
3. התוצאה 1−e⁻² שווה בדיוק לשטח שחושב בסעיף ג' — הזהות מתקיימת באופן אלגברי מדויק, ללא צורך בקירובים מספריים.
4. המשמעות הגאומטרית: השטח הכולל מתחת לעקומה f(x)=e⁻ˣ מעל ציר ה-x (בתחום [0,2]) מתפרק בדיוק לשני חלקים — השטח שבין העקומה לישר האופקי y=e⁻² (החלק ה"עודף" מעל הישר) ושטח המלבן שמתחת לישר עצמו (עד ציר ה-x) — וסכומם נותן בחזרה את השטח הכולל.

תשובה: (1−3e⁻²)+2e⁻²=1−e⁻², בדיוק כמו סעיף ג'; גאומטרית: השטח הכולל מתחת לעקומה = השטח שבין העקומה לישר + שטח המלבן שמתחת לישר.