שאלון 35472פרק ב' — חדו"א של פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות33 נקודות · מאתגרת
נתונה הפונקציה f(x) = ln(x² − 4), המתארת עצמת אות בערוץ תקשורת כפונקציה של פרמטר עיצוב x.
א.מצאו את תחום ההגדרה של f(x) = ln(x² − 4).
5 נק׳הציגו פתרון
- פונקציית ln מוגדרת רק כאשר הביטוי שבתוכה חיובי ממש, ולכן יש לדרוש x² − 4 > 0.
- נפתור: x² > 4, כלומר |x| > 2, ומכאן x < −2 או x > 2.
תשובה: x < −2 או x > 2.
ב.הוכיחו כי f היא פונקציה זוגית, ופרשו את המשמעות הגרפית של תוצאה זו.
5 נק׳הציגו פתרון
- נציב −x בפונקציה: f(−x) = ln((−x)² − 4) = ln(x² − 4) = f(x).
- מכיוון שמתקיים f(−x)=f(x) לכל x בתחום ההגדרה, f היא פונקציה זוגית.
- המשמעות הגרפית: הגרף של f סימטרי ביחס לציר ה-y.
תשובה: f(−x) = f(x) לכל x בתחום, ולכן f זוגית; הגרף סימטרי ביחס לציר ה-y.
ג.מצאו את f'(x), והוכיחו כי לפונקציה f אין נקודות קיצון בתחום הגדרתה.
7 נק׳הציגו פתרון
- נגזרת ln(u) היא u'/u, כאשר u=x²−4, u'=2x, ולכן f'(x) = 2x/(x²−4).
- נשווה f'(x)=0: מכיוון שהמכנה אינו יכול להתאפס בתחום ההגדרה, יש להשוות את המונה לאפס: 2x=0, כלומר x=0.
- אולם x=0 אינו נמצא בתחום ההגדרה של f (הדורש x<−2 או x>2), ולכן אין בתחום ההגדרה אף נקודה שבה f'(x)=0, ומכאן של-f אין נקודות קיצון.
תשובה: f'(x) = 2x/(x² − 4); אין נקודת קיצון, כי הפתרון היחיד ל-f'(x)=0 (x=0) אינו בתחום ההגדרה.
ד.קבעו את תחומי העלייה והירידה של f בתחום הגדרתה, ורשמו את משוואות האסימפטוטות האנכיות של הגרף.
8 נק׳הציגו פתרון
- עבור x>2: המונה 2x חיובי והמכנה x²−4 חיובי, ולכן f'(x)>0 — הפונקציה עולה בענף הימני.
- עבור x<−2: המונה 2x שלילי והמכנה x²−4 חיובי, ולכן f'(x)<0 — הפונקציה יורדת בענף השמאלי.
- כאשר x שואף ל-2 מימין (או ל−2 משמאל), הביטוי x²−4 שואף ל-0⁺, ולכן ln(x²−4) שואף ל−∞. לכן x=2 ו-x=−2 הן אסימפטוטות אנכיות של הגרף.
תשובה: f יורדת ב-x<−2 ועולה ב-x>2; אסימפטוטות אנכיות: x=−2 ו-x=2.
ה.לפניכם תיאור של ארבעה גרפים אפשריים:
גרף I: מוגדר לכל x, סימטרי ביחס לראשית (אי-זוגי), עולה בכל תחום ההגדרה.
גרף II: מוגדר עבור x>2 בלבד, בעל אסימפטוטה אנכית ב-x=2, עולה בכל תחום ההגדרה.
גרף III: מוגדר עבור x<−2 או x>2, סימטרי ביחס לציר ה-y, בעל שתי אסימפטוטות אנכיות (x=−2 ו-x=2), יורד בענף השמאלי ועולה בענף הימני.
גרף IV: מוגדר לכל x, סימטרי ביחס לציר ה-y, בעל נקודת מינימום יחידה.
איזה מהגרפים מתאים לפונקציה f(x) = ln(x²−4)? נמקו על סמך התוצאות מהסעיפים הקודמים.
8 נק׳הציגו פתרון
- מסעיף א' תחום ההגדרה הוא x<−2 או x>2 (שני ענפים נפרדים) — פוסל את גרפים I ו-IV, המוגדרים לכל x, ואת גרף II, המוגדר בענף אחד בלבד.
- מסעיף ב' הפונקציה זוגית, כלומר סימטרית ביחס לציר ה-y — תואם רק גרף III (וגרף IV, שכבר נפסל בגלל התחום).
- מסעיפים ג'-ד' לפונקציה אין נקודת קיצון, אבל יש שתי אסימפטוטות אנכיות (x=±2), עם ירידה בענף השמאלי ועלייה בענף הימני — זהו בדיוק התיאור של גרף III.
- לכן הגרף המתאים לפונקציה f(x)=ln(x²−4) הוא גרף III.
תשובה: גרף III.
חלוקת הנקודות בין הסעיפים היא הערכה פנימית של MathHero — בשאלון הרשמי הניקוד ניתן לשאלה כולה.