עוצמת אות — תחום ln(x²−4) · מתכונת 35472

1. פונקציית ln מוגדרת רק כאשר הביטוי שבתוכה חיובי ממש, ולכן יש לדרוש x² − 4 > 0.
2. נפתור: x² > 4, כלומר |x| > 2, ומכאן x < −2 או x > 2.

תשובה: x < −2 או x > 2.

1. נציב −x בפונקציה: f(−x) = ln((−x)² − 4) = ln(x² − 4) = f(x).
2. מכיוון שמתקיים f(−x)=f(x) לכל x בתחום ההגדרה, f היא פונקציה זוגית.
3. המשמעות הגרפית: הגרף של f סימטרי ביחס לציר ה-y.

תשובה: f(−x) = f(x) לכל x בתחום, ולכן f זוגית; הגרף סימטרי ביחס לציר ה-y.

1. נגזרת ln(u) היא u'/u, כאשר u=x²−4, u'=2x, ולכן f'(x) = 2x/(x²−4).
2. נשווה f'(x)=0: מכיוון שהמכנה אינו יכול להתאפס בתחום ההגדרה, יש להשוות את המונה לאפס: 2x=0, כלומר x=0.
3. אולם x=0 אינו נמצא בתחום ההגדרה של f (הדורש x<−2 או x>2), ולכן אין בתחום ההגדרה אף נקודה שבה f'(x)=0, ומכאן של-f אין נקודות קיצון.

תשובה: f'(x) = 2x/(x² − 4); אין נקודת קיצון, כי הפתרון היחיד ל-f'(x)=0 (x=0) אינו בתחום ההגדרה.

1. עבור x>2: המונה 2x חיובי והמכנה x²−4 חיובי, ולכן f'(x)>0 — הפונקציה עולה בענף הימני.
2. עבור x<−2: המונה 2x שלילי והמכנה x²−4 חיובי, ולכן f'(x)<0 — הפונקציה יורדת בענף השמאלי.
3. כאשר x שואף ל-2 מימין (או ל−2 משמאל), הביטוי x²−4 שואף ל-0⁺, ולכן ln(x²−4) שואף ל−∞. לכן x=2 ו-x=−2 הן אסימפטוטות אנכיות של הגרף.

תשובה: f יורדת ב-x<−2 ועולה ב-x>2; אסימפטוטות אנכיות: x=−2 ו-x=2.

1. מסעיף א' תחום ההגדרה הוא x<−2 או x>2 (שני ענפים נפרדים) — פוסל את גרפים I ו-IV, המוגדרים לכל x, ואת גרף II, המוגדר בענף אחד בלבד.
2. מסעיף ב' הפונקציה זוגית, כלומר סימטרית ביחס לציר ה-y — תואם רק גרף III (וגרף IV, שכבר נפסל בגלל התחום).
3. מסעיפים ג'-ד' לפונקציה אין נקודת קיצון, אבל יש שתי אסימפטוטות אנכיות (x=±2), עם ירידה בענף השמאלי ועלייה בענף הימני — זהו בדיוק התיאור של גרף III.
4. לכן הגרף המתאים לפונקציה f(x)=ln(x²−4) הוא גרף III.

תשובה: גרף III.