שאלת מתכונת — שאלון 35472

1. לפי מיקום הקודקודים: A(0,0,0), B(6,0,0), D(0,2,0), E(0,0,3), ולכן AB=(6,0,0), AD=(0,2,0), AE=(0,0,3).
2. הווקטור AG מתקבל מהליכה לאורך שלוש הצלעות הניצבות: AG = AB + AD + AE = (6+0+0, 0+2+0, 0+0+3) = (6, 2, 3).

תשובה: AB = (6, 0, 0), AD = (0, 2, 0), AE = (0, 0, 3), AG = (6, 2, 3).

1. נוסחת אורך וקטור במרחב: |AG| = √(x² + y² + z²).
2. נציב את AG = (6, 2, 3): |AG| = √(36 + 4 + 9) = √49 = 7 מטרים.

תשובה: AG = 7 מטרים.

1. נמצא את BD: BD = D − B = (0,2,0) − (6,0,0) = (−6, 2, 0).
2. נחשב את המכפלה הסקלרית: AE·BD = (0)·(−6) + (0)·(2) + (3)·(0) = 0.
3. מכיוון שהמכפלה הסקלרית שווה ל-0, הווקטורים AE ו-BD מאונכים זה לזה.

תשובה: AE·BD = 0, ולכן AE⊥BD.

1. נמצא את הקודקוד C = B + AD = (6,0,0)+(0,2,0) = (6,2,0), ואת הווקטורים CA ו-CG: AC = C − A = (6,2,0), CG = G − C = (6,2,3) − (6,2,0) = (0,0,3).
2. נחשב את המכפלה הסקלרית: AC·CG = (6)(0) + (2)(0) + (0)(3) = 0, ולכן AC⊥CG, כלומר הזווית בקודקוד C ישרה.
3. מכיוון שהזווית ב-C ישרה, שטח המשולש הוא מחצית מכפלת שני הניצבים: שטח = ½·|AC|·|CG|.
4. |AC| = √(36+4) = √40 = 2√10, ו-|CG| = 3. שטח = ½·2√10·3 = 3√10 מ"ר.

תשובה: AC·CG = 0, ולכן הזווית ב-C ישרה; שטח המשולש הוא 3√10 מ"ר.

1. במקרה הכללי: A(0,0,0), B(p,0,0), D(0,k,0), C(p,k,0), ולכן AC = (p, k, 0) ו-BD = D − B = (−p, k, 0).
2. נחשב את המכפלה הסקלרית: AC·BD = (p)(−p) + (k)(k) + (0)(0) = −p² + k².
3. AC⊥BD מתקיים אם ורק אם המכפלה הסקלרית מתאפסת, כלומר −p² + k² = 0, ומכאן k² = p².
4. מכיוון ש-p, k > 0, מתקיים k² = p² אם ורק אם k = p. לכן אלכסוני הבסיס מאונכים בדיוק כאשר p = k, כלומר כאשר הבסיס ABCD הוא ריבוע.

תשובה: AC·BD = k² − p², ולכן AC⊥BD בדיוק כאשר p = k.