שאלת מתכונת — שאלון 35472

1. הביטוי ln x מוגדר רק עבור x>0, ולכן זהו תחום ההגדרה של f (הביטויים (ln x)² ו-5·ln x מוגדרים בכל מקום שבו ln x מוגדר).
2. עבור כל x>0, הביטוי t=ln x מקבל ערך ממשי יחיד וקיים, ולכן ההצבה מוגדרת היטב לאורך כל תחום ההגדרה.

תשובה: x>0; מכיוון ש-ln x מוגדר בדיוק עבור x>0, ההצבה t=ln x מוגדרת בכל תחום ההגדרה.

1. נציב t=ln x במשוואה (ln x)²−5·ln x+6=0, ומתקבלת המשוואה הריבועית t²−5t+6=0.
2. נפרק לגורמים: t²−5t+6=(t−2)(t−3). המשוואה (t−2)(t−3)=0 מתקיימת כאשר t=2 או t=3.

תשובה: t²−5t+6=0; t=2 או t=3.

1. עבור t=2: ln x=2, ומכאן x=e² (זהו מספר חיובי, ולכן נמצא בתחום ההגדרה x>0).
2. עבור t=3: ln x=3, ומכאן x=e³ (גם הוא חיובי, בתחום ההגדרה).
3. לכן פתרונות המשוואה המקורית הם x=e² ו-x=e³.

תשובה: x=e² או x=e³.

1. לפי ההצבה t=ln x, יש לפתור t²−5t+6<0, כלומר (t−2)(t−3)<0.
2. מכיוון שמדובר בפרבולה הפונה כלפי מעלה (מקדם t² חיובי), הביטוי שלילי בדיוק בין שני השורשים: 2<t<3.
3. נחזור למשתנה x: 2<ln x<3 שקול ל-e²<x<e³ (הפעלת eˣ, פונקציה עולה, על שני אגפי האי-שוויון שומרת על כיוונו).

תשובה: e² < x < e³.

1. נכון שתחום ההגדרה x>0 הוא קבוצה אינסופית (בלתי חסומה), אך זה אינו אומר שלמשוואה f(x)=0 יש אינסוף פתרונות.
2. לאחר ההצבה t=ln x, המשוואה הופכת למשוואה ריבועית t²−5t+6=0, ולמשוואה ריבועית יש לכל היותר שני פתרונות עבור t (כאן בדיוק שניים: t=2, t=3).
3. כל ערך של t מתאים לערך יחיד של x (לפי x=eᵗ, פונקציה חד-חד-ערכית), ולכן שני פתרונות ל-t מתאימים בדיוק לשני פתרונות ל-x: x=e² ו-x=e³ — לא יותר.
4. לכן טענת הטכנאי שגויה: קיימים בדיוק שני פתרונות, לא אינסוף.

תשובה: לא צדק — יש בדיוק שני פתרונות: x=e² ו-x=e³.