יעילות משאב — הפונקציה ln x/x · מתכונת 35472

1. ln(x) מוגדרת רק עבור x>0.
2. המכנה x חייב להיות שונה מאפס — תנאי זה מתקיים אוטומטית עבור x>0.
3. לכן תחום ההגדרה של f הוא x>0.

תשובה: x > 0.

1. כלל המנה: (u/v)' = (u'v−uv')/v², כאשר u=ln x, u'=1/x, v=x, v'=1.
2. f'(x) = [(1/x)·x − ln(x)·1] / x² = [1 − ln x] / x².

תשובה: f'(x) = (1−ln x)/x².

1. נשווה f'(x)=0: (1−ln x)/x²=0. מכיוון שהמכנה x² אינו מתאפס בתחום ההגדרה, יש להשוות את המונה לאפס: 1−ln x=0, כלומר ln x=1, ומכאן x=e.
2. נבדוק סימן: עבור 0<x<e, מתקיים ln x<1, ולכן 1−ln x>0, ומכאן f'(x)>0 (עולה). עבור x>e, מתקיים ln x>1, ולכן 1−ln x<0, ומכאן f'(x)<0 (יורדת).
3. מכיוון שהנגזרת עוברת מחיובית לשלילית, x=e היא נקודת מקסימום. f(e)=ln(e)/e=1/e.
4. לסיכום: f עולה ב-0<x<e, יורדת ב-x>e, ונקודת המקסימום היא (e, 1/e).

תשובה: (e, 1/e) נקודת מקסימום; f עולה ב-0<x<e ויורדת ב-x>e.

1. כאשר x→0⁺: ln(x)→−∞ (מונה שלילי וגדול בערכו המוחלט), בעוד x→0⁺ (מכנה חיובי קטן), ולכן f(x)=ln(x)/x → −∞. לכן x=0 היא אסימפטוטה אנכית.
2. כאשר x→∞: לפי העובדה הנתונה (ln x גדל לאט הרבה יותר מ-x), המנה ln(x)/x שואפת ל-0. לכן y=0 היא אסימפטוטה אופקית (כאשר x→∞).

תשובה: אסימפטוטה אנכית x=0; אסימפטוטה אופקית y=0 (כאשר x→∞).

1. מסעיף ג' נמצא שלפונקציה יש רק נקודת קיצון אחת — מקסימום יחיד בנקודה (e, 1/e). הפונקציה עולה במלואו בתחום 0<x<e, ויורדת במלואו בתחום x>e — אין שינוי כיוון נוסף.
2. ההתנהגות ליד x=0 (מסעיף ד') היא שאיפה לאסימפטוטה אנכית (f(x)→−∞), לא ירידה לקראת נקודת קיצון — אין שם נקודת קיצון כלל, אלא גבול של הפונקציה.
3. לכן טענת התלמידה שגויה: יש רק נקודת קיצון אחת (מקסימום), לא שתיים.

תשובה: לא צדקה — יש רק נקודת קיצון אחת (מקסימום ב-x=e).