שאלון 35472פרק א' — סדרות, וקטורים וגדילה ודעיכה33 נקודות · ברמת הבחינה
מעבדת מחקר עוקבת אחרי שני זני חיידקים במקביל, כתלות בזמן t (בשעות, t≥0): זן A מוזרק בכמות קטנה יחסית וגדל ללא הפרעה לפי המודל A(t) = 40·eᵗ (באלפי תאים), ואילו זן B מוזרק בכמות גדולה יחסית אך נתון לטיפול אנטיביוטי הגורם לו לדעוך לפי המודל B(t) = 640·e⁻ᵗ (באלפי תאים).
א.חשבו את A(0) ואת B(0), והשוו ביניהם. פי כמה זן B גדול מזן A בתחילת המעקב (t=0)?
5 נק׳הציגו פתרון
- A(0) = 40·e⁰ = 40·1 = 40.
- B(0) = 640·e⁰ = 640·1 = 640.
- היחס: B(0)/A(0) = 640/40 = 16.
תשובה: A(0)=40, B(0)=640; זן B גדול פי 16 מזן A.
ב.מצאו את הזמן t (בשעות) שבו שני הזנים שווים בגודלם, כלומר פתרו A(t)=B(t). השתמשו בלוגריתם טבעי, והשאירו את התשובה כביטוי מדויק.
8 נק׳הציגו פתרון
- נשווה: 40·eᵗ = 640·e⁻ᵗ.
- נחלק ב-40 ונכפול ב-eᵗ (חיובי): e²ᵗ = 640/40 = 16.
- נפעיל ln על שני האגפים: 2t = ln16. מכיוון ש-16=2⁴, מתקיים ln16=4ln2. לכן 2t=4ln2, ומכאן t=2ln2 (השווה גם ל-ln4, לפי חוקי לוגריתם).
תשובה: t = 2ln2 (= ln4) שעות.
ג.הגדירו את פונקציית היחס R(t)=A(t)/B(t), בטאו אותה בצורה מפושטת, והוכיחו כי R עולה ממש עבור t≥0. הסיקו מכך, ללא חישוב נוסף, מהו סימן ההפרש A(t)−B(t) עבור t קטן מ-2ln2, ועבור t גדול מ-2ln2.
7 נק׳הציגו פתרון
- R(t) = A(t)/B(t) = 40eᵗ/(640e⁻ᵗ) = (40/640)·eᵗ⁺ᵗ = (1/16)·e²ᵗ.
- הפונקציה eᵗ עולה ממש עבור כל t, ולכן גם e²ᵗ עולה ממש, ומכאן ש-R(t)=(1/16)·e²ᵗ עולה ממש עבור כל t, בפרט עבור t≥0.
- לפי סעיף ב', R(2ln2) = A(2ln2)/B(2ln2) = 1 (שוויון). מכיוון ש-R עולה ממש: עבור t<2ln2 מתקיים R(t)<1, כלומר A(t)<B(t); ועבור t>2ln2 מתקיים R(t)>1, כלומר A(t)>B(t).
תשובה: R(t)=(1/16)·e²ᵗ, עולה ממש; לכן B(t)>A(t) עבור t<2ln2, ו-A(t)>B(t) עבור t>2ln2.
ד.מצאו את השעה השלמה הראשונה (n טבעי) שבה זן A גדול מזן B, על ידי בדיקה ישירה בעזרת הקירוב e≈2.718.
6 נק׳הציגו פתרון
- t=1: A(1)=40e≈40·2.718=108.72; B(1)=640/e≈640/2.718≈235.47. מכיוון ש-235.47>108.72, מתקיים B(1)>A(1).
- t=2: A(2)=40e²≈40·7.389=295.56; B(2)=640/e²≈640/7.389≈86.61. מכיוון ש-295.56>86.61, מתקיים A(2)>B(2).
- לכן השעה השלמה הראשונה שבה זן A גדול מזן B היא t=2 — תואם לתוצאת סעיף ב' (t=2ln2≈1.386, הנמצא בין 1 ל-2).
תשובה: n=2 שעות.
ה.חוקרת טוענת שההפרש A(t)−B(t) מתייצב (שואף לגבול סופי קבוע) ככל ש-t גדל ללא גבול. האם צדקה? נמקו באמצעות בחינת ההתנהגות של A(t) ושל B(t) בנפרד כאשר t→∞.
7 נק׳הציגו פתרון
- כאשר t→∞: A(t)=40eᵗ→∞ (הפונקציה המעריכית עולה ללא גבול).
- כאשר t→∞: B(t)=640e⁻ᵗ→0 (הפונקציה המעריכית eᵗ שואפת לאינסוף, ולכן e⁻ᵗ=1/eᵗ שואפת ל-0).
- לכן A(t)−B(t) → ∞ − 0 = ∞ — ההפרש גדל ללא גבול ואינו שואף לערך סופי קבוע. טענת החוקרת שגויה: אמנם A ו-B מתקרבים זה לזה בזמן t=2ln2 (סעיף ב'), אך לאחר מכן הפער ביניהם רק הולך וגדל.
תשובה: לא צדקה — ההפרש שואף לאינסוף, אינו מתייצב.
חלוקת הנקודות בין הסעיפים היא הערכה פנימית של MathHero — בשאלון הרשמי הניקוד ניתן לשאלה כולה.