פסל טטראהדרון — וקטורים · מתכונת 35472

1. AB = B−A = (4,0,0)−(0,0,0) = (4,0,0). |AB| = √(4²+0²+0²) = √16 = 4.
2. AC = C−A = (0,3,0)−(0,0,0) = (0,3,0). |AC| = √(0²+3²+0²) = √9 = 3.
3. AD = D−A = (0,3,4)−(0,0,0) = (0,3,4). |AD| = √(0²+3²+4²) = √(9+16) = √25 = 5.

תשובה: AB=(4,0,0), |AB|=4; AC=(0,3,0), |AC|=3; AD=(0,3,4), |AD|=5.

1. AB·AC = (4)(0) + (0)(3) + (0)(0) = 0. מכיוון שהמכפלה הסקלרית מתאפסת, AB⊥AC, כלומר הזווית BAC ישרה.
2. מכיוון שהזווית ב-A ישרה, AB ו-AC הם שני הניצבים של המשולש, ולכן שטחו: שטח = ½·|AB|·|AC| = ½·4·3 = 6 מ"ר.

תשובה: AB·AC=0, ולכן הזווית ישרה; שטח ABC = 6 מ"ר.

1. AD·AB = (0)(4) + (3)(0) + (4)(0) = 0, ולכן AD⊥AB.
2. AD·AC = (0)(0) + (3)(3) + (4)(0) = 9 ≠ 0, ולכן AD אינו מאונך ל-AC.
3. וקטור מאונך למישור נתון אם ורק אם הוא מאונך לשני וקטורים בלתי-תלויים (לא מקבילים) השוכנים באותו מישור — כאן AB ו-AC הם שני וקטורים כאלה במישור הבסיס. מכיוון ש-AD מאונך ל-AB בלבד ולא ל-AC, AD אינו מאונך למישור הבסיס ABC כולו, למרות שהוא כן מאונך לאחת מצלעותיו.

תשובה: AD·AB=0 (מאונך ל-AB), אך AD·AC=9≠0 (אינו מאונך ל-AC) — ולכן AD אינו מאונך למישור הבסיס כולו.

1. לפי נוסחת הזווית בין וקטורים: cosθ = (AD·AC)/(|AD|·|AC|).
2. נציב את הנתונים מסעיפים א' וג': AD·AC=9, |AD|=5, |AC|=3. cosθ = 9/(5·3) = 9/15 = 3/5.
3. לפי הזהות sin²θ+cos²θ=1: sinθ = √(1−(3/5)²) = √(1−9/25) = √(16/25) = 4/5 (הסינוס חיובי, כי 0°<θ<180°).

תשובה: cosθ = 3/5, sinθ = 4/5.

1. נציב בנוסחה: שטח = ½·|AC|·|AD|·sinθ = ½·3·5·(4/5).
2. נחשב: ½·3·5·(4/5) = ½·3·4 = 6 מ"ר (השבר 4/5 מצטמצם עם ה-5 שבמכפלה).

תשובה: שטח ACD = 6 מ"ר.