שאלת מתכונת — שאלון 35472

1. S₁ = 8² = 64 ס"מ בריבוע.
2. כל צלע של הריבוע הפנימי היא היתר של משולש ישר-זווית שניצביו הם חצאי הצלעות של הריבוע החיצוני, כלומר שני ניצבים באורך 8/2=4 ס"מ כל אחד.
3. לפי משפט פיתגורס: צלע הריבוע הפנימי = √(4²+4²) = √32 = 4√2 ס"מ.
4. S₂ = (4√2)² = 16·2 = 32 ס"מ בריבוע.

תשובה: S₁=64 ס"מ בריבוע; צלע הריבוע השני 4√2 ס"מ; S₂=32 ס"מ בריבוע.

1. לריבוע כללי עם צלע s: כל צלע של הריבוע הפנימי היא היתר של משולש ישר-זווית עם שני ניצבים באורך s/2 כל אחד.
2. לפי משפט פיתגורס: צלע הריבוע הפנימי = √((s/2)²+(s/2)²) = √(s²/2) = s/√2.
3. שטח הריבוע הפנימי = (s/√2)² = s²/2.
4. מכיוון ששטח הריבוע המקורי הוא s², היחס בין השטחים הוא (s²/2)/s² = 1/2 — קבוע ואינו תלוי כלל בערך s. לכן שטח כל ריבוע פנימי הוא תמיד בדיוק מחצית משטח הריבוע שממנו הוא נבנה.

תשובה: שטח הריבוע הפנימי = s²/2 = ½ · שטח הריבוע המקורי, לכל s.

1. לפי סעיף ב', כל שטח מתקבל מהשטח הקודם בכפל בגורם קבוע 1/2, ללא תלות בגודל הריבוע — זוהי בדיוק ההגדרה של סדרה הנדסית, עם מנה q=1/2.
2. האיבר הראשון (מסעיף א'): S₁=64. הנוסחה הכללית: Sₙ = S₁·qⁿ⁻¹ = 64·(1/2)ⁿ⁻¹.

תשובה: סדרה הנדסית עם S₁=64, q=1/2; Sₙ = 64·(1/2)ⁿ⁻¹.

1. מכיוון ש-q=1/2 מקיים |q|<1, ניתן להשתמש בנוסחת סכום סדרה הנדסית אינסופית: S = S₁/(1−q).
2. נציב S₁=64, q=1/2: S = 64/(1−1/2) = 64/(1/2) = 128 ס"מ בריבוע.

תשובה: 128 ס"מ בריבוע.

1. לפי סעיף ב', המנה q=1/2 קבועה עבור כל ריבוע התחלתי, ללא תלות בגודל צלעו — לכן גם עבור ריבוע התחלתי חדש עם S₁'=128, המנה נשארת q=1/2.
2. נחשב את הסכום החדש: S' = S₁'/(1−q) = 128/(1−1/2) = 128/(1/2) = 256.
3. נשווה לסכום המקורי (מסעיף ד'): S=128, ומתקיים S'=256=2·128=2·S — הסכום החדש אכן כפול בדיוק מהסכום המקורי.
4. ההסבר הכללי: הנוסחה S=S₁/(1−q) היא ביטוי ליניארי (פרופורציונלי) ב-S₁ כאשר q קבוע — הכפלת S₁ בכל גורם k מכפילה גם את S באותו גורם k בדיוק. לכן טענת האמנית נכונה.

תשובה: כן, צדקה — הסכום האינסופי הוא ליניארי ב-S₁, ולכן הכפלת S₁ מכפילה בדיוק את הסכום.