שאלת מתכונת — שאלון 35472

1. זמן מחצית חיים פירושו: כעבור 8 שעות (T=8), כמות החומר יורדת בדיוק למחצית מהכמות ההתחלתית, כלומר M(8) = M₀/2.
2. נציב בנוסחה: M₀·q⁸ = M₀/2. נחלק ב-M₀ (שונה מאפס): q⁸ = 1/2.
3. נוציא שורש שמיני (q חיובי, כמנת דעיכה): q = ⁸√(1/2). זהו מספר אי-רציונלי (בקירוב q≈0.917), ולכן משאירים אותו בצורת שורש מדויקת.

תשובה: q = ⁸√(1/2) (השורש השמיני של חצי).

1. מכיוון ש-16 שעות שוות לשני זמני מחצית חיים (2·8=16), הכמות ההתחלתית עוברת שתי חלוקות עוקבות במחצית: M(16) = M₀·(1/2)² = 640·(1/4) = 160 מ"ג.

תשובה: 160 מ"ג.

1. 40 שעות שוות לחמישה זמני מחצית חיים (5·8=40): M(40) = M₀·(1/2)⁵ = 640·(1/32) = 20 מ"ג.
2. האחוז מהכמות ההתחלתית: 20/640 = 1/32 = 0.03125 = 3.125%.

תשובה: 20 מ"ג, שהם 3.125% מהכמות ההתחלתית.

1. יש לפתור את אי-השוויון M₀·qᵗ < 0.1·M₀, כלומר qᵗ < 0.1 (לאחר חלוקה ב-M₀).
2. נפעיל ln על שני האגפים: t·ln(q) < ln(0.1). מסעיף א' q=⁸√(1/2)=(1/2) בחזקת (1/8), ולכן (לפי חוקי לוגריתם) ln(q) = (1/8)·ln(1/2) = −(1/8)·ln2 ≈ −(1/8)·0.693 ≈ −0.0866 (מספר שלילי).
3. מכיוון ש-ln(q) שלילי, בחלוקה בו הופכים את כיוון אי-השוויון: t > ln(0.1)/ln(q). לפי הנתון ln(0.1) = −ln(10) ≈ −2.303, ולכן t > (−2.303)/(−0.0866) ≈ 26.6.
4. נבדוק שעות שלמות סמוכות לפי החישוב t≈26.6: ב-t=26 הכמות עדיין מעל 64 מ"ג (26<26.6), ואילו ב-t=27 היא כבר מתחתיה (27>26.6). לכן השעה השלמה הראשונה שבה הכמות יורדת מתחת ל-64 מ"ג היא השעה ה-27.

תשובה: לאחר 27 שעות שלמות.

1. M(8) = M₀·(1/2)¹ = 640·(1/2) = 320 מ"ג (זמן-מחצית-חיים אחד).
2. M(24) = M₀·(1/2)³ = 640·(1/8) = 80 מ"ג (שלושה זמני-מחצית-חיים, כי 24=3·8).
3. היחס בין הכמויות: M(24)/M(8) = 80/320 = 1/4, ולא 1/3 כפי שטען הטכנאי.
4. ההסבר המתמטי: בין t=8 ל-t=24 עוברים 16 שעות, שהן בדיוק 2 זמני-מחצית-חיים נוספים (16=2·8), ולכן הכמות עוברת שתי חלוקות עוקבות במחצית, כלומר מוכפלת ב-(1/2)²=1/4 — לא ב-1/3. הדעיכה מעריכית, לא ליניארית, ולכן היחס בין זמנים אינו שווה ליחס בין הכמויות.

תשובה: לא צדק — הכמות כעבור 24 שעות היא רבע (לא שליש) מהכמות כעבור 8 שעות.