שאלת מתכונת — שאלון 35472

1. נשתמש בזהות e²ˣ=(eˣ)²: e²ˣ−eˣ = (eˣ)²−eˣ = eˣ·(eˣ−1).
2. לכל x≥0 מתקיים eˣ>0 (תמיד), וגם eˣ≥e⁰=1 (כי הפונקציה המעריכית עולה), ולכן eˣ−1≥0.
3. מכפלה של שני גורמים אי-שליליים היא אי-שלילית, ולכן eˣ(eˣ−1)≥0 לכל x≥0, כלומר e²ˣ≥eˣ בתחום זה.

תשובה: e²ˣ−eˣ = eˣ(eˣ−1) ≥ 0 לכל x≥0.

1. הקדומה של e²ˣ (לפי כלל השרשרת ההפוך) היא ½e²ˣ, והקדומה של eˣ היא eˣ. לכן F(x) = ½e²ˣ − eˣ.

תשובה: F(x) = ½e²ˣ − eˣ.

1. יש לפתור e²ˣ=4. נפעיל ln על שני האגפים: 2x = ln4.
2. מכיוון ש-4=2², מתקיים ln4=ln(2²)=2ln2. לכן 2x=2ln2, ומכאן x=ln2.

תשובה: x = ln2.

1. לפי סעיף א', בתחום זה e²ˣ≥eˣ, ולכן השטח מתקבל ישירות מהאינטגרל של (e²ˣ−eˣ)dx בתחום 0≤x≤ln2, שערכו F(ln2)−F(0), כאשר F(x)=½e²ˣ−eˣ (מסעיף ב').
2. F(ln2) = ½·(e בחזקת 2ln2) − (e בחזקת ln2) = ½·4 − 2 = 2−2 = 0 (מכיוון ש-e בחזקת 2ln2 שווה ל-e בחזקת ln4, שהוא 4, ו-e בחזקת ln2 שווה ל-2).
3. F(0) = ½·e⁰ − e⁰ = ½·1 − 1 = ½−1 = −½.
4. שטח = F(ln2)−F(0) = 0−(−½) = ½.

תשובה: ½ (יחידות שטח).

1. נחשב: P₁(ln2) = e בחזקת 2ln2 = 4, P₂(ln2) = e בחזקת ln2 = 2. לכן P₁(ln2)−P₂(ln2) = 4−2 = 2.
2. לפי סעיף ד', השטח הכלוא בין הגרפים בתחום 0≤x≤ln2 הוא ½, ולא 2.
3. מכיוון ש-2≠½, טענת החוקרת שגויה. ההסבר: השטח בין שני גרפים על פני קטע הוא האינטגרל (הסכום המצטבר) של ההפרש לאורך כל הקטע, ולא ההפרש בין הפונקציות בנקודת קצה בודדת — אלו שני מושגים שונים לחלוטין, גם אם שניהם מתייחסים לאותו "הפרש" בין שתי הפונקציות.

תשובה: לא צדקה — P₁(ln2)−P₂(ln2)=2, בעוד שהשטח (מסעיף ד') הוא ½.