שאלת מתכונת — שאלון 35472

1. לפי מיקום הקודקודים: A(0,0,0), B(4,0,0), D(0,3,0), E(0,0,12), ולכן AB=(4,0,0), AD=(0,3,0), AE=(0,0,12).
2. הווקטור AG מתקבל מהליכה לאורך שלוש הצלעות הניצבות: AG = AB+AD+AE = (4,3,12).
3. הווקטור AC (אלכסון הבסיס) מתקבל מהליכה לאורך שתי צלעות הבסיס בלבד: AC = AB+AD = (4,3,0).

תשובה: AB=(4,0,0), AD=(0,3,0), AE=(0,0,12); AG=(4,3,12); AC=(4,3,0).

1. |AG| = √(4²+3²+12²) = √(16+9+144) = √169 = 13.
2. |AC| = √(4²+3²+0²) = √(16+9) = √25 = 5.

תשובה: |AG|=13 מטרים; |AC|=5 מטרים.

1. AG·AC = (4)(4)+(3)(3)+(12)(0) = 16+9+0 = 25.
2. נוסחת הזווית בין וקטורים: cosθ = (AG·AC)/(|AG|·|AC|). נציב את התוצאות מסעיפים א'-ב': cosθ = 25/(13·5) = 25/65 = 5/13.

תשובה: AG·AC = 25; cosθ = 5/13.

1. לפי הזהות sin²θ+cos²θ=1: sinθ = √(1−(5/13)²) = √(1−25/169) = √(144/169) = 12/13 (הסינוס חיובי, כי 0°<θ<180°).
2. שטח = ½·|AG|·|AC|·sinθ = ½·13·5·(12/13) = ½·5·12 = 30 מ"ר (המספר 13 מצטמצם).

תשובה: sinθ=12/13; שטח המשולש AGC = 30 מ"ר.

1. נסמן AE=m (m>0, גובה כלשהו). במקרה הכללי: A(0,0,0), B(p,0,0), D(0,k,0), C(p,k,0), E(0,0,m), ומכאן AG=AB+AD+AE=(p,k,m), ואילו AC=AB+AD=(p,k,0) — בלתי תלוי בגובה m.
2. נחשב את המכפלה הסקלרית: AG·AC = (p)(p)+(k)(k)+(m)(0) = p²+k²+0 = p²+k².
3. מכיוון ש-p>0 ו-k>0, מתקיים p²>0 ו-k²>0, ולכן p²+k²>0 תמיד — המכפלה הסקלרית לעולם אינה מתאפסת (ושימו לב שהתוצאה כלל אינה תלויה בגובה m).
4. מכיוון שהמכפלה הסקלרית לעולם אינה 0, AG ו-AC לעולם אינם מאונכים זה לזה — הזווית ביניהם, לכל תיבה מלבנית באשר היא, לעולם אינה ישרה.

תשובה: AG·AC = p²+k² > 0 לכל p,k>0, ולכן הזווית לעולם אינה 90°.