עוצמת אות — שטח מתחת ל-ln x · מתכונת 35472

1. פונקציית ln עולה, ומתקיים ln(1)=0. לכן, לכל x≥1, מתקיים ln(x)≥ln(1)=0.
2. בפרט, בתחום 1≤x≤e מתקיים ln(x)≥0 — הגרף נמצא מעל או על ציר ה-x לאורך כל התחום.
3. מכיוון שהפונקציה אינה שלילית בתחום, השטח הכלוא בינה לבין ציר ה-x שווה ישירות לאינטגרל המסוים ∫₁ᵉ ln(x) dx, ללא צורך בערך מוחלט או בפיצול לתת-תחומים.

תשובה: ln(x)≥0 בתחום 1≤x≤e, ולכן ניתן לחשב ישירות בלי ערך מוחלט.

1. נגזור את F(x)=x·ln(x)−x איבר-איבר. עבור האיבר x·ln(x) נשתמש בכלל המכפלה: (x·ln x)' = 1·ln(x) + x·(1/x) = ln(x) + 1.
2. הנגזרת של האיבר השני, −x, היא −1.
3. לכן F'(x) = [ln(x)+1] + (−1) = ln(x)+1−1 = ln(x), בדיוק כמו f(x). לכן F(x) אכן פונקציה קדומה של f(x)=ln(x).

תשובה: F'(x)=ln(x)+1−1=ln(x) ✓.

1. לפי משפט ניוטון-לייבניץ: שטח = F(e) − F(1).
2. F(e) = e·ln(e) − e = e·1 − e = 0 (מכיוון ש-ln(e)=1).
3. F(1) = 1·ln(1) − 1 = 1·0 − 1 = −1 (מכיוון ש-ln(1)=0).
4. שטח = F(e) − F(1) = 0 − (−1) = 1.

תשובה: השטח = 1.

1. F(e²) = e²·ln(e²) − e² = e²·2 − e² = e² (מכיוון ש-ln(e²)=2, לפי חוקי לוגריתמים).
2. F(1) = −1 (חושב בסעיף ג').
3. שטח = F(e²) − F(1) = e² − (−1) = e²+1.

תשובה: השטח = e²+1.

1. מסעיף ג' השטח עד e הוא 1, ומסעיף ד' השטח עד e² הוא e²+1≈7.39+1=8.39. היחס ביניהם הוא e²+1≈8.39, ולא 2.
2. ההסבר: הפונקציה ln(x) עולה, ולכן ערכיה (גבהי הגרף) בקטע הנוסף [e, e²] גבוהים בהרבה (בין 1 ל-2) מערכיה בקטע המקורי [1, e] (בין 0 ל-1). בנוסף, אורך הקטע [e, e²] (כ-4.67) גדול בהרבה מאורך הקטע [1, e] (כ-1.72). שני הגורמים הללו יחד (גבהים גבוהים יותר על תחום ארוך יותר) גורמים לשטח הנוסף להיות הרבה יותר מכפול, לא רק כפול.
3. לכן טענת התלמיד שגויה — שטח אינו גדל באופן פרופורציונלי לאורך התחום עבור פונקציה שאינה קבועה כמו ln(x).

תשובה: לא צדק — השטח בסעיף ד' (e²+1≈8.39) גדול בהרבה מפי 2 מהשטח בסעיף ג' (1).