שאלת מתכונת — שאלון 35472

1. זוהי סדרה הנדסית עם איבר ראשון a₁=5 ומנה q=2, ולכן aₙ = a₁·qⁿ⁻¹ = 5·2ⁿ⁻¹.
2. נוסחת סכום סדרה הנדסית: Sₙ = a₁(qⁿ−1)/(q−1). נציב a₁=5, q=2: Sₙ = 5(2ⁿ−1)/(2−1) = 5(2ⁿ−1).

תשובה: aₙ = 5·2ⁿ⁻¹; Sₙ = 5(2ⁿ − 1).

1. נציב Sₙ=315 בנוסחה: 5(2ⁿ−1) = 315. נחלק ב-5: 2ⁿ−1 = 63, ומכאן 2ⁿ = 64.
2. נפעיל ln על שני האגפים: n·ln2 = ln64. מכיוון ש-64=2⁶, מתקיים ln64 = ln(2⁶) = 6·ln2 (לפי חוקי לוגריתם).
3. לכן n·ln2 = 6·ln2, ובחלוקה ב-ln2 (שונה מאפס): n = 6 — מספר טבעי, כנדרש.

תשובה: n = 6.

1. לפי aₙ=5·2ⁿ⁻¹: a₁=5, a₂=10, a₃=20, a₄=40, a₅=80, a₆=160.
2. סכומם: 5+10+20+40+80+160 = 315 — תואם בדיוק לנתון S₆=315, ומאמת את n=6 שנמצא בסעיף ב'.

תשובה: 5, 10, 20, 40, 80, 160; סכומם 315 ✓.

1. יש לפתור 5(2ⁿ−1) > 1000, כלומר 2ⁿ−1 > 200, ומכאן 2ⁿ > 201.
2. נפעיל ln: n·ln2 > ln201, ומכאן n > ln201/ln2 ≈ 5.303/0.693 ≈ 7.65. מכיוון ש-n טבעי, המועמד הקטן ביותר הוא n=8.
3. בדיקה ישירה: S₇ = 5(2⁷−1) = 5·127 = 635 (עדיין מתחת ל-1,000), ואילו S₈ = 5(2⁸−1) = 5·255 = 1,275 (כבר מעל 1,000). לכן n=8 הוא אכן המספר הטבעי הקטן ביותר שעבורו Sₙ>1,000.

תשובה: n = 8.

1. נחשב S₁₀ = 5(2¹⁰−1) = 5·(1024−1) = 5·1023 = 5,115.
2. נחשב את הערך שאיתו משווים: 30·315 = 9,450.
3. מכיוון ש-5,115 < 9,450, טענת מנהל הקמפיין שגויה — S₁₀ אינו עולה על פי 30 מ-315, אף שהוא כן גדול משמעותית מ-315 עצמו.

תשובה: לא צדק — S₁₀=5,115, בעוד ש-30·315=9,450.