קירור קפה — דעיכה עם אסימפטוטה · מתכונת 35472

1. עבור k>0, כאשר t→∞ גם −kt→−∞, ולכן e בחזקת (−kt) → 0 (פונקציה מעריכית שואפת ל-0 כאשר המעריך שואף למינוס אינסוף).
2. לכן f(t) = A + B·e בחזקת (−kt) → A + B·0 = A כאשר t→∞ — כלומר A הוא ערך הגבול (הטמפרטורה) שאליו הטמפרטורה מתקרבת בטווח הארוך.
3. לפי הנתון, טמפרטורה זו היא טמפרטורת החדר, 20°C, ולכן A=20.

תשובה: A=20.

1. נציב t=0: f(0) = A + B·e⁰ = A + B·1 = A+B.
2. לפי הנתון f(0)=90, ולפי סעיף א' A=20: 20+B=90, ומכאן B=70.

תשובה: B=70.

1. נציב t=10 בנוסחה f(t)=20+70·e בחזקת (−kt): f(10) = 20 + 70·e בחזקת (−10k) = 55.
2. נבודד את הביטוי המעריכי: 70·e בחזקת (−10k) = 35, ומכאן e בחזקת (−10k) = 1/2.
3. נפעיל ln על שני האגפים: −10k = ln(1/2) = −ln2. מכאן k = ln2/10.

תשובה: k = ln2/10.

1. מכיוון ש-20=2·10, החזקה −20k = 2·(−10k), ולכן e בחזקת (−20k) = [e בחזקת (−10k)]² = (1/2)² = 1/4 (לפי התוצאה מסעיף ג').
2. f(20) = 20 + 70·(1/4) = 20 + 17.5 = 37.5°C.

תשובה: 37.5°C.

1. f(t) = 20 + 70·e בחזקת (−kt). מכיוון ש-70>0 ו-e בחזקת (−kt) הוא חזקה של e, מתקיים תמיד e בחזקת (−kt)>0 לכל t סופי, ולכן 70·e בחזקת (−kt)>0 לכל t סופי.
2. מכאן f(t) = 20 + (מספר חיובי) > 20 לכל t סופי — הטמפרטורה תמיד גבוהה ממש מ-20°C, ולעולם אינה שווה לו בדיוק בשום זמן סופי.
3. המשמעות הפיזיקלית: y=A=20 הוא אסימפטוטה אופקית של הגרף — ערך הגבול שאליו הטמפרטורה מתקרבת יותר ויותר ככל שחולף הזמן, אך אינה מגיעה אליו במדויק. בפועל, לאחר זמן ארוך מספיק הטמפרטורה קרובה מאוד ל-20°C (אף שאינה שווה לו בדיוק), עד כדי כך שההבדל אינו ניתן למדידה מעשית.

תשובה: לא — לעולם לא מגיע בדיוק ל-20°C; A=20 הוא גבול אסימפטוטי (מתקרבים אליו, לא מגיעים אליו).