במפעל לאריזת מוצרי מזון התגלתה בבדיקת איכות סטייה ראשונית של 96 גרם ממשקל היעד באחת ממכונות המילוי. הצוות ההנדסי מפעיל תהליך תיקון אוטומטי: בכל מחזור כיול, המכונה מתקנת בדיוק מחצית מגודל הסטייה שנמדדה במחזור הקודם, אך תמיד בכיוון הפוך לסטייה הקודמת (אם הסטייה הייתה עודף משקל, התיקון הבא יוצר גירעון משקל, וכן הלאה לסירוגין). כך נוצרת סדרת הסטיות c₁, c₂, c₃,... (בגרמים; ערך חיובי מציין עודף משקל, ערך שלילי מציין גירעון משקל), כאשר c₁=96.
הציגו פתרון
- בכל מחזור הסטייה מוכפלת בגורם קבוע: מחצית הגודל (חלוקה ב-2) וכיוון הפוך (סימן מוחלף), כלומר כפל ב-(−1/2). זהו בדיוק המבנה של סדרה הנדסית, עם מנה q=−1/2.
- c₁=96. c₂=96·(−1/2)=−48. c₃=(−48)·(−1/2)=24. c₄=24·(−1/2)=−12.
- נוסחת האיבר הכללי בסדרה הנדסית: cₙ = c₁·qⁿ⁻¹ = 96·(−1/2)ⁿ⁻¹.
תשובה: c₁=96, c₂=−48, c₃=24, c₄=−12; q=−1/2; cₙ=96·(−1/2)ⁿ⁻¹.
הציגו פתרון
- נוסחת סכום סדרה הנדסית: Sₙ = c₁·(1−qⁿ)/(1−q). נציב c₁=96, q=−1/2, כך ש-1−q=3/2: Sₙ = 96·(1−(−1/2)ⁿ)/(3/2) = 96·(2/3)·(1−(−1/2)ⁿ) = 64·[1−(−1/2)ⁿ].
- נציב n=5: S₅ = 64·[1−(−1/2)⁵] = 64·[1−(−1/32)] = 64·(33/32) = 66.
- בדיקה ישירה: c₅ = c₄·q = (−12)·(−1/2) = 6, וסכום c₁..c₅ = 96−48+24−12+6 = 66 — תואם.
תשובה: Sₙ = 64·[1 − (−1/2)ⁿ]; S₅ = 66 גרם.
הציגו פתרון
- q=−1/2, ולכן |q|=1/2<1 — תנאי ההתכנסות מתקיים, ואפשר להשתמש בנוסחת הסכום האינסופי.
- S = c₁/(1−q) = 96/(1−(−1/2)) = 96/(3/2) = 64.
- מבחינה מעשית, ערך זה הוא הגבול שאליו שואפת הסטייה המצטברת (Sₙ) ככל שממשיכים במחזורי הכיול לאינסוף — הסכומים החלקיים מתייצבים סביב 64 גרם (מתקרבים אליו לסירוגין מלמעלה ומלמטה, כפי שיודגם בסעיף ד'), ולא ממשיכים לגדול ללא גבול.
תשובה: |q|=1/2<1 — מתקיים; הסכום האינסופי הוא 64 גרם.
הציגו פתרון
- לפי סעיף ב', Sₙ = 64·[1−(−1/2)ⁿ] = 64 − 64·(−1/2)ⁿ.
- עבור n אי-זוגי: חזקה אי-זוגית של מספר שלילי היא שלילית, ולכן (−1/2)ⁿ = −(1/2)ⁿ. מכאן Sₙ = 64 − 64·(−(1/2)ⁿ) = 64 + 64·(1/2)ⁿ, וזה גדול מ-64 (כי 64·(1/2)ⁿ>0).
- עבור n זוגי: חזקה זוגית של מספר שלילי היא חיובית, ולכן (−1/2)ⁿ = (1/2)ⁿ. מכאן Sₙ = 64 − 64·(1/2)ⁿ, וזה קטן מ-64.
- ככל ש-n גדל, (1/2)ⁿ שואף ל-0, ולכן הסכומים האי-זוגיים יורדים לכיוון 64 מלמעלה והסכומים הזוגיים עולים לכיוון 64 מלמטה — שתי הסדרות "לוחצות" את Sₙ אל הגבול 64 משני צדדיו בו-זמנית, בהתאמה מלאה לתוצאת ההתכנסות בסעיף ג'.
תשובה: עבור n אי-זוגי: Sₙ=64+64·(1/2)ⁿ>64. עבור n זוגי: Sₙ=64−64·(1/2)ⁿ<64. שני הסוגים מתקרבים ל-64 משני הצדדים.
הציגו פתרון
- תנאי ההתכנסות (והתוקף) של נוסחת סכום סדרה הנדסית אינסופית הוא |q|<1 — תנאי זה עוסק בגודל (הערך המוחלט) של q, ואינו תלוי כלל בסימנו.
- כאן q=−1/2, ומתקיים |−1/2|=1/2<1, כך שהתנאי מתקיים במלואו, כפי שהודגם בפועל בסעיף ג' (שבו הנוסחה הופעלה בהצלחה וחישוב הישיר בסעיף ד' אישר את ההתכנסות).
- בנוסף, גם המכנה 1−q=1−(−1/2)=3/2 שונה מאפס, כך שאין כל מכשול טכני בהפעלת הנוסחה. לכן טענת המהנדס שגויה.
תשובה: לא צדק — תנאי התוקף הוא |q|<1 בלבד, ללא קשר לסימן q.
חלוקת הנקודות בין הסעיפים היא הערכה פנימית של MathHero — בשאלון הרשמי הניקוד ניתן לשאלה כולה.