שאלת מתכונת — שאלון 35571

1. נציב n=1 באגף שמאל: (1+x)¹=1+x.
2. נציב n=1 באגף ימין: 1+1·x=1+x.
3. שני האגפים שווים בדיוק (1+x=1+x) לכל x>−1, ולכן אי-השוויון מתקיים (עם שוויון ממש) — בסיס האינדוקציה מתקיים.

תשובה: עבור n=1: (1+x)¹=1+x=1+1·x — שני האגפים שווים.

1. הנחת האינדוקציה: מניחים כי עבור n=k (k טבעי כלשהו) מתקיים (1+x)ᵏ ≥ 1+kx, וזאת עבור אותו x>−1 קבוע.
2. המטרה בצעד האינדוקציה: להראות שמתוך ההנחה הזו נובע בהכרח כי גם (1+x) בחזקת (k+1) ≥ 1+(k+1)x, כלומר שאי-השוויון נכון גם עבור n=k+1.

תשובה: הנחה: (1+x)ᵏ ≥ 1+kx. יש להראות: (1+x) בחזקת (k+1) ≥ 1+(k+1)x.

1. מכיוון ש-x>−1, מתקיים 1+x>0. כפל שני אגפי אי-שוויון במספר חיובי אינו הופך את כיוון אי-השוויון — זו ההצדקה לכפל שלהלן.
2. נכפול את שני אגפי הנחת האינדוקציה (1+x)ᵏ ≥ 1+kx ב-(1+x): (1+x)ᵏ·(1+x) ≥ (1+kx)·(1+x), כלומר (1+x) בחזקת (k+1) ≥ (1+kx)(1+x).
3. נפתח את אגף ימין: (1+kx)(1+x) = 1+x+kx+kx² = 1+(k+1)x+kx².
4. מכיוון ש-k הוא מספר טבעי (k≥1>0) ומכיוון ש-x²≥0 תמיד, מתקיים kx²≥0, ולכן 1+(k+1)x+kx² ≥ 1+(k+1)x.
5. נשרשר את שתי אי-השוויונות: (1+x) בחזקת (k+1) ≥ 1+(k+1)x+kx² ≥ 1+(k+1)x. ומכאן (1+x) בחזקת (k+1) ≥ 1+(k+1)x, כנדרש — צעד האינדוקציה הושלם.
6. לפי עקרון האינדוקציה המתמטית, מתקיים כי (1+x)ⁿ ≥ 1+nx לכל n טבעי, עבור כל x>−1 קבוע.

תשובה: (1+x) בחזקת (k+1) = (1+x)ᵏ·(1+x) ≥ (1+kx)(1+x) = 1+(k+1)x+kx² ≥ 1+(k+1)x.

1. נציב x=0.05 (המקיים x>−1) ו-n=10 באי-השוויון הכללי שהוכח: (1+x)ⁿ ≥ 1+nx.
2. אגף ימין: 1+10·0.05 = 1+0.5 = 1.5.
3. לכן מתקבל ישירות מהמשפט הכללי: (1.05) בחזקת 10 ≥ 1.5 — ללא צורך בחישוב הערך המדויק.

תשובה: (1.05) בחזקת 10 ≥ 1.5