שאלת מתכונת — שאלון 35571

1. PA משיק למעגל בנקודה A, ו-OA הוא רדיוס אל נקודת ההשקה, ולכן OA⊥PA (רדיוס מאונך למשיק בנקודת ההשקה) — כלומר משולש OAP ישר-זווית בקודקוד A. מאותו טעם, OB⊥PB ומשולש OBP ישר-זווית בקודקוד B.
2. לפי משפט פיתגורס במשולש OAP: PA² = OP²−OA². לפי משפט פיתגורס במשולש OBP: PB² = OP²−OB².
3. מכיוון ש-OA=OB=r (שני רדיוסים של אותו מעגל), מתקבל PA² = OP²−r² = PB². מכיוון ש-PA,PB>0, נובע כי PA=PB.

תשובה: PA=PB, כי PA²=OP²−r²=PB² ו-PA,PB>0.

1. לפי משפט פיתגורס במשולש OAP (ישר-זווית בקודקוד A): PA² = OP²−OA² = 13²−5² = 169−25 = 144.
2. PA = √144 = 12 מטר. מסעיף א' גם PB=12 מטר.

תשובה: PA=PB=12 מטר.

1. במשולש OAP הישר-זווית בקודקוד A: הניצב מול θ (=∠OPA) הוא OA=5, הניצב הצמוד הוא PA=12, והיתר הוא OP=13. לכן sinθ=OA/OP=5/13, cosθ=PA/OP=12/13.
2. מכיוון ש-OA=OB, PA=PB ו-OP משותף, משולשי OAP ו-OBP חופפים, ולכן ∠OPA=∠OPB=θ — כלומר הישר OP חוצה את הזווית ∠APB, ומתקיים ∠APB=2θ.
3. לפי נוסחת סינוס הזווית הכפולה: sin(2θ) = 2sinθcosθ = 2·(5/13)·(12/13) = 120/169.
4. לפי נוסחת קוסינוס הזווית הכפולה: cos(2θ) = 2cos²θ−1 = 2·(144/169)−1 = 288/169−169/169 = 119/169.

תשובה: sinθ=5/13, cosθ=12/13; sin(∠APB)=120/169, cos(∠APB)=119/169.

1. המרובע OAPB מורכב משני משולשים ישרי-זווית חופפים: OAP ו-OBP (כפי שנקבע בסעיף א').
2. שטח משולש OAP = (1/2)·OA·PA = (1/2)·5·12 = 30 מ"ר. מהחפיפה, גם שטח משולש OBP = 30 מ"ר.
3. שטח המרובע OAPB = 30+30 = 60 מ"ר.

תשובה: 60 מ"ר.