שאלת מתכונת — שאלון 35571

1. נשווה את הפונקציות: 4−x² = 2−x, כלומר 4−x²−2+x=0, ומכאן −x²+x+2=0, כלומר x²−x−2=0.
2. נפרק לגורמים: (x−2)(x+1)=0, ולכן x=2 או x=−1. נציב: f(−1)=3, f(2)=0 — נקודות החיתוך (−1,3) ו-(2,0).
3. נבדוק איזו פונקציה גבוהה יותר בקטע (−1,2): עבור x=0, f(0)=4>g(0)=2, ולכן f מעל g בכל הקטע. השטח: ∫(מ−1 עד 2)[(4−x²)−(2−x)]dx = ∫(מ−1 עד 2)(2+x−x²)dx.
4. פונקציה קדומה: 2x+x²/2−x³/3. נציב x=2: 4+2−8/3=6−8/3=10/3. נציב x=−1: −2+1/2+1/3=−7/6.
5. השטח: 10/3−(−7/6) = 10/3+7/6 = 20/6+7/6 = 27/6 = 9/2.

תשובה: נקודות חיתוך: (−1,3) ו-(2,0). השטח הכלוא: 9/2.

1. אסימפטוטה אנכית מתקבלת בנקודה שבה |f(x)| שואפת לאינסוף כאשר x שואף אליה. הנתון קובע זאת במפורש עבור x=2, ולכן x=2 היא אסימפטוטה אנכית.
2. למרות ש-f אינה מוגדרת גם ב-x=−1, שם הגבול של f(x) סופי (הערך 5) ולא אינסופי — ולכן x=−1 היא רק נקודת אי-רציפות סליקה (חור בגרף), ולא אסימפטוטה אנכית.
3. אסימפטוטה אופקית מתקבלת מהגבול של f(x) כאשר x שואף לאינסוף או למינוס אינסוף. שני הגבולות שווים ל−1, ולכן y=−1 היא אסימפטוטה אופקית יחידה (בשני הכיוונים).

תשובה: אסימפטוטה אנכית יחידה: x=2. אסימפטוטה אופקית: y=−1. x=−1 אינה אסימפטוטה.

1. הצמוד מתקבל בהיפוך סימן החלק המדומה: z̄=5+2i.
2. דרך ראשונה, כפל ישיר: z·z̄=(5−2i)(5+2i)=5²−(2i)²=25−4i²=25+4=29 (הצבנו i²=−1).
3. דרך שנייה, לפי הנוסחה z·z̄=|z|²: |z|²=5²+(−2)²=25+4=29.
4. שתי הדרכים נותנות בדיוק את אותה תוצאה: z·z̄=29.

תשובה: z̄=5+2i, z·z̄=29 (בשתי הדרכים).

1. נוסחת האיבר הכללי: an=a1+(n−1)d. נציב n=15: a15=7+14·4=7+56=63.
2. נוסחת סכום n איברים ראשונים בסדרה חשבונית: Sn=n·(a1+an)/2. נציב n=15: S15=15·(7+63)/2=15·70/2=15·35=525.

תשובה: a15=63, S15=525.