פונקציה מורכבת e בחזקת cos x · מתכונת 35571

1. הפונקציה g(x)=cosx מוגדרת לכל x ממשי, וערכיה תמיד בתחום [−1,1].
2. הפונקציה f(u)=eᵘ מוגדרת לכל u ממשי (ובפרט לכל הערכים שמקבלת g), ואינה מטילה שום אילוץ נוסף.
3. לכן h(x)=e בחזקת (cosx) מוגדרת לכל x ממשי — תחום ההגדרה הוא כל הישר הממשי.

תשובה: כל x ממשי.

1. לפי כלל השרשרת: h'(x) = f'(g(x))·g'(x).
2. נגזרת f(u)=eᵘ היא f'(u)=eᵘ, ונגזרת g(x)=cosx היא g'(x)=−sinx.
3. נציב: h'(x) = e בחזקת (cosx)·(−sinx) = −sinx·e בחזקת (cosx).

תשובה: h'(x) = −sinx·e בחזקת (cosx)

1. נשווה את הנגזרת מסעיף ב' לאפס: h'(x)=−sinx·e בחזקת (cosx)=0. מכיוון ש-e בחזקת (cosx)>0 תמיד (פונקציית האקספוננט חיובית לכל מעריך), חייב להתקיים sinx=0.
2. בקטע [0,2π], sinx=0 מתקיים בדיוק בנקודות x=0, x=π, x=2π.
3. נבדוק את סימן הנגזרת בין הנקודות: עבור x∈(0,π), sinx>0, ולכן h'(x)=−sinx·e בחזקת (cosx)<0 (יורדת). עבור x∈(π,2π), sinx<0, ולכן h'(x)>0 (עולה).
4. מכיוון שהפונקציה יורדת מיד לאחר x=0, נקודת הקצה x=0 היא מקסימום מקומי. מכיוון שהיא יורדת לפני x=π ועולה אחריה, x=π הוא מינימום מקומי. מכיוון שהיא עולה מיד לפני x=2π, נקודת הקצה x=2π היא מקסימום מקומי.
5. נחשב את הערכים: h(0)=e בחזקת (cos0)=e¹=e. h(π)=e בחזקת (cosπ)=e⁻¹=1/e. h(2π)=e בחזקת (cos2π)=e¹=e.

תשובה: מקסימום מקומי ב-x=0 וב-x=2π, שם h=e; מינימום מקומי ב-x=π, שם h=1/e.

1. לכל x ממשי מתקיים cosx∈[−1,1].
2. הפונקציה f(u)=eᵘ היא עולה ממש (חד-חד-ערכית), ולכן שומרת על סדר הערכים: כאשר u נע בין −1 ל-1, eᵘ נע בין e⁻¹=1/e ל-e¹=e.
3. לכן תחום הערכים של h הוא [1/e, e].
4. מכיוון ש-h מחזורית עם מחזור 2π (בירושה מ-cosx), אותם ערכי קיצון e ו-1/e חוזרים על עצמם באופן מחזורי בכל קטע [2πn,2π(n+1)] — כפי שאכן נמצא בסעיף ג' עבור הקטע הספציפי [0,2π].

תשובה: תחום הערכים: [1/e, e].