שאלת מתכונת — שאלון 35571

1. לכל x ממשי מתקיים x²≥0, ולכן x²+4≥4>0 — הביטוי מתחת לשורש חיובי ממש עבור כל x.
2. בנוסף, √(x²+4)≥√4=2>0, כך שהמכנה לעולם אינו מתאפס.
3. לכן h(x) מוגדרת עבור כל x ממשי — תחום ההגדרה הוא כל הישר הממשי.

תשובה: כל x ממשי.

1. h(x)=f(g(x)), כאשר f(u)=u^(−1/2) ו-g(x)=x²+4.
2. נגזרת f: f'(u) = −(1/2)·u^(−3/2). נגזרת g: g'(x)=2x.
3. לפי כלל השרשרת: h'(x) = f'(g(x))·g'(x) = [−(1/2)·(x²+4)^(−3/2)]·2x = −x·(x²+4)^(−3/2) = −x/(x²+4)^(3/2).

תשובה: h'(x) = −x/(x²+4)^(3/2)

1. נשווה את הנגזרת לאפס: h'(x)=−x/(x²+4)^(3/2)=0. מכיוון שהמכנה (x²+4)^(3/2) חיובי תמיד (ולכן אינו אפס), השבר מתאפס רק כאשר המונה מתאפס, כלומר x=0 — זוהי נקודת הקיצון החשודה היחידה.
2. נחשב h(0) = 1/√(0²+4) = 1/√4 = 1/2, כלומר הנקודה (0, 1/2).
3. נבדוק את סימן הנגזרת סביב x=0: עבור x<0, המונה −x חיובי והמכנה חיובי, ולכן h'(x)>0 (הפונקציה עולה). עבור x>0, המונה −x שלילי, ולכן h'(x)<0 (הפונקציה יורדת).
4. מכיוון שהפונקציה עוברת מעלייה לירידה בדיוק ב-x=0, זוהי נקודת מקסימום — והיא נקודת הקיצון היחידה בתחום ההגדרה (כל הישר הממשי), שכן זהו הפתרון היחיד ל-h'(x)=0.

תשובה: נקודת קיצון יחידה (0, 1/2) — מקסימום.

1. כאשר x→∞ או x→−∞, מתקיים x²+4→∞, ולכן גם √(x²+4)→∞, ומכאן ש-h(x)=1/√(x²+4)→0.
2. לכן y=0 היא אסימפטוטה אופקית של h בשני הכיוונים.
3. מכיוון ש-√(x²+4)>0 לכל x, מתקיים h(x)=1/√(x²+4)>0 לכל x — ולכן הגרף מתקרב לאסימפטוטה תמיד מלמעלה (מערכים חיוביים).

תשובה: y=0, הגרף מתקרב אליה מלמעלה.

1. נבדוק את h(−x): h(−x) = 1/√((−x)²+4) = 1/√(x²+4) = h(x).
2. מכיוון ש-h(−x)=h(x) לכל x, הפונקציה h זוגית — הדבר עולה בקנה אחד עם נקודת הקיצון היחידה שנמצאה ב-x=0 (ציר הסימטריה של הגרף).

תשובה: h זוגית.