שאלון 35571פרק א' — שאלות קצרות22 נקודות · קלה יחסית
לפניכם 4 סעיפים עצמאיים בנושאים שונים בתוכנית הלימודים. כל סעיף הוא שאלה נפרדת לחלוטין — אינו נשען על הסעיפים האחרים ואינו חולק עמם סיפור מסגרת משותף.
א.נתונות שלוש הנקודות A(2,3), B(8,3), C(5,9) במישור. שימו לב כי הצלע AB מקבילה לציר ה-x. מצאו את אורך הצלע AB (באמצעות נוסחת המרחק), מצאו את אורך הגובה מקודקוד C לצלע AB, וחשבו את שטח המשולש ABC.
5 נק׳הציגו פתרון
- אורך AB לפי נוסחת המרחק: AB = √((8−2)²+(3−3)²) = √(6²+0²) = √36 = 6.
- מכיוון ש-A ו-B נמצאות שתיהן על הישר y=3 (הצלע AB מקבילה לציר ה-x), הגובה מ-C לצלע AB הוא ניצב לישר y=3, כלומר קטע אנכי — ורגל הגובה היא הנקודה (5,3) (אותו שיעור x כמו C).
- אורך הגובה שווה למרחק האנכי בין C(5,9) לנקודה (5,3): גובה = √((5−5)²+(9−3)²) = √(0+36) = 6.
- שטח המשולש: S = (1/2)·בסיס·גובה = (1/2)·6·6 = 18.
תשובה: AB=6, גובה=6, שטח המשולש = 18.
ב.פתרו את משוואת הלוגריתם: log₂(x+1) = 3.
5 נק׳הציגו פתרון
- לפי הגדרת הלוגריתם, log₂(x+1)=3 שקול לכך ש-x+1=2³.
- נחשב: 2³=8, ולכן x+1=8, כלומר x=7.
- בדיקת תחום ההגדרה: נדרש x+1>0, כלומר x>−1; אכן x=7 מקיים זאת, ולכן הפתרון תקף.
תשובה: x = 7
ג.הסבירו במילים (ללא חישוב) מדוע מתקיימת הזהות הכללית C(n,k)=C(n,n−k) לכל n טבעי ו-0≤k≤n. לאחר מכן אמתו את הזהות באופן מספרי עבור המקרה הפרטי n=9, k=4, על ידי חישוב ישיר של C(9,4) ושל C(9,5).
6 נק׳הציגו פתרון
- הסבר כללי: לבחור k איברים מתוך n איברים לקבוצה מסוימת שקול לחלוטין לבחור אילו n−k איברים יישארו מחוץ לקבוצה — כל בחירה של k איברים "לפנים" קובעת באופן יחיד בחירה של n−k איברים "בחוץ", ולהפך. לכן מספר הדרכים זהה: C(n,k)=C(n,n−k).
- חישוב C(9,4): C(9,4) = 9!/(4!·5!) = (9·8·7·6)/(4·3·2·1) = 3024/24 = 126.
- חישוב C(9,5): C(9,5) = 9!/(5!·4!) = (9·8·7·6)/(4·3·2·1) = 3024/24 = 126 (המכנה זהה כי 5!·4!=4!·5!).
- אכן C(9,4)=C(9,5)=126, בהתאמה מלאה לזהות הכללית (כאן n−k=9−4=5).
תשובה: C(9,4)=C(9,5)=126.
ד.לפניכם ארבע סדרות המוגדרות באופן מפורש: I. aₙ=n²+1. II. aₙ=(−1)ⁿ·3. III. aₙ=4−1/n. IV. aₙ=2ⁿ. איזו מהסדרות מתכנסת (יש לה גבול סופי)? מצאו את הגבול, ונמקו בקצרה מדוע כל אחת משלוש הסדרות האחרות אינה מתכנסת.
6 נק׳הציגו פתרון
- סדרה I: aₙ=n²+1 גדלה ללא גבול כאשר n→∞ (n² שואף לאינסוף), ולכן הסדרה מתבדרת (אין לה גבול סופי).
- סדרה II: aₙ=(−1)ⁿ·3 מתנדנדת לנצח בין הערכים 3 ו-−3 (בהתאם לזוגיות n), ואינה מתקרבת לערך יחיד — לכן היא מתבדרת (אין לה גבול).
- סדרה III: aₙ=4−1/n. כאשר n→∞, 1/n→0, ולכן aₙ→4−0=4. הסדרה מתכנסת, וגבולה 4.
- סדרה IV: aₙ=2ⁿ גדלה ללא גבול (חזקות של 2 שואפות לאינסוף), ולכן הסדרה מתבדרת.
תשובה: סדרה III מתכנסת, לגבול 4.
חלוקת הנקודות בין הסעיפים היא הערכה פנימית של MathHero — בשאלון הרשמי הניקוד ניתן לשאלה כולה.