שאלון 35571פרק א' — שאלות קצרות22 נקודות · ברמת הבחינה
לפניכם 4 סעיפים עצמאיים בנושאים שונים בתוכנית הלימודים. כל סעיף הוא שאלה נפרדת לחלוטין — אינו נשען על הסעיפים האחרים ואינו חולק עמם סיפור מסגרת משותף.
א.נתונה הפונקציה f(x) = 2x³−3x²+4. מצאו את f'(2).
5 נק׳הציגו פתרון
- נגזור: f'(x) = 6x²−6x.
- נציב x=2: f'(2) = 6·(2²) − 6·2 = 6·4 − 12 = 24−12 = 12.
תשובה: f'(2) = 12
ב.סדרה מוגדרת ע"י נסיגה: a1=2, ולכל n≥1: a(n+1) = (1/3)·an + 4. קבעו (מבלי לחשב איברים רבים) האם הסדרה מתכנסת, ואם כן — מצאו את הגבול שלה.
5 נק׳הציגו פתרון
- הסדרה מוגדרת בצורה a(n+1)=q·an+d עם q=1/3 ו-d=4. מכיוון ש-|q|=1/3<1, מובטח שהסדרה מתכנסת לגבול סופי L.
- אם הסדרה מתכנסת ל-L, אזי גם an וגם a(n+1) שואפים ל-L, ולכן L חייב לקיים L = (1/3)·L + 4.
- נפתור: L − (1/3)L = 4 ⟹ (2/3)L = 4 ⟹ L = 4·(3/2) = 6.
תשובה: הסדרה מתכנסת לגבול L=6.
ג.בקבוצת מוצרים בקו ייצור, ההסתברות שפריט בודד יימצא פגום היא 1/4, באופן בלתי תלוי בין הפריטים. בוחרים באקראי 4 פריטים מהקו. מהי ההסתברות שבדיוק פריט אחד מבין הארבעה יהיה פגום?
6 נק׳הציגו פתרון
- זהו ניסוי בינומי עם n=4 פריטים, הסתברות "הצלחה" (פריט פגום) p=1/4 בכל פריט, ומחפשים בדיוק k=1 פריטים פגומים.
- לפי נוסחת ההתפלגות הבינומית: P(X=1) = C(4,1)·(1/4)¹·(3/4)³.
- נחשב: C(4,1)=4, (1/4)¹=1/4, (3/4)³=27/64.
- נציב: P(X=1) = 4·(1/4)·(27/64) = 27/64.
תשובה: 27/64
ד.נתונים הווקטורים u=(6,−2) ו-v=(1,3) במישור. חשבו את המכפלה הסקלרית (מכפלת נקודה) של u ו-v, וקבעו לפיה האם הווקטורים מאונכים זה לזה.
6 נק׳הציגו פתרון
- נוסחת המכפלה הסקלרית: u·v = ux·vx + uy·vy.
- נציב: u·v = 6·1 + (−2)·3 = 6 − 6 = 0.
- מכיוון שהמכפלה הסקלרית שווה לאפס, הווקטורים u ו-v מאונכים זה לזה.
תשובה: u·v = 0, ולכן u ו-v מאונכים.
חלוקת הנקודות בין הסעיפים היא הערכה פנימית של GeekHero — בשאלון הרשמי הניקוד ניתן לשאלה כולה.