שאלון 35571פרק א' — שאלות קצרות22 נקודות · קלה יחסית
לפניכם 4 סעיפים עצמאיים בנושאים שונים בתוכנית הלימודים. כל סעיף הוא שאלה נפרדת לחלוטין — אינו נשען על הסעיפים האחרים ואינו חולק עמם סיפור מסגרת משותף.
א.נתונה הטענה: "לכל n טבעי מתקיים 8 מחלק את 9ⁿ−1". בדקו את בסיס האינדוקציה (n=1), ולאחר מכן הראו את צעד האינדוקציה: בהנחה ש-8 מחלק את 9^k−1 (עבור k טבעי כלשהו), הראו כי 8 מחלק גם את 9^(k+1)−1.
5 נק׳הציגו פתרון
- בסיס האינדוקציה, n=1: 9¹−1=8, וכמובן 8 מחלק את 8.
- הנחת האינדוקציה: קיים מספר שלם m כך ש-9^k−1 = 8m.
- נפתח: 9^(k+1)−1 = 9·9^k − 1 = 9·(9^k−1) + 9 − 1 = 9·8m + 8 = 8(9m+1).
- הביטוי האחרון הוא כפולה של 8 (כי 9m+1 הוא מספר שלם), ולכן 8 מחלק את 9^(k+1)−1, כנדרש.
תשובה: הטענה מתקיימת בבסיס ובצעד — 9^(k+1)−1 = 8(9m+1).
ב.נתונה הפונקציה f(x) = 3sin(2x) + 1. להלן תיאור מילולי של ארבעה גרפים אפשריים: I. משרעת 3, מחזור 2π, ציר אמצע y=1, בנקודה x=0 הפונקציה נמצאת בערכה המרבי. II. משרעת 3, מחזור π, ציר אמצע y=1, בנקודה x=0 הפונקציה עולה דרך ציר האמצע. III. משרעת 3, מחזור π, ציר אמצע y=−1, בנקודה x=0 הפונקציה עולה דרך ציר האמצע. IV. משרעת 1, מחזור π, ציר אמצע y=3, בנקודה x=0 הפונקציה עולה דרך ציר האמצע. איזה מהגרפים I–IV מתאר את גרף f(x)? נמקו את קביעתכם.
5 נק׳הציגו פתרון
- משרעת הפונקציה f(x)=3sin(2x)+1 היא המקדם שליד sin, כלומר 3 — הדבר שולל את גרף IV (שמשרעתו 1).
- מחזור הפונקציה sin(bx) הוא 2π/b; כאן b=2 ולכן המחזור הוא π — הדבר שולל את גרף I (שמחזורו 2π).
- ציר האמצע (ההזזה האנכית) הוא y=1 — הדבר שולל את גרף III (שציר האמצע שלו y=−1).
- נבדוק את התנהגות f ב-x=0: f(0)=3sin(0)+1=1, כלומר הגרף עובר בדיוק בציר האמצע; ומכיוון ש-f'(x)=6cos(2x), מתקיים f'(0)=6cos(0)=6>0, כלומר הפונקציה עולה שם. הגרף היחיד התואם את כל התכונות — משרעת 3, מחזור π, ציר אמצע y=1, עולה דרך ציר האמצע ב-x=0 — הוא גרף II.
תשובה: גרף II.
ג.נתונים המספרים המרוכבים z1=4+6i ו-z2=1+i. חשבו את המנה z1/z2, ורשמו את התוצאה בצורה האלגברית a+bi.
6 נק׳הציגו פתרון
- כדי לחלק במספר מרוכב, נכפול את המונה והמכנה בצמוד של המכנה: z1/z2 = (4+6i)(1−i) / [(1+i)(1−i)].
- נחשב את המכנה: (1+i)(1−i) = 1²−i² = 1−(−1) = 2.
- נחשב את המונה: (4+6i)(1−i) = 4−4i+6i−6i² = 4+2i−6i² = 4+2i+6 = 10+2i (הצבנו i²=−1).
- נחלק כל איבר במונה ב-2: (10+2i)/2 = 5+i.
תשובה: z1/z2 = 5+i
ד.סדרה של משולשים ישרי-זווית הדומים זה לזה, שבהם שטח כל משולש שווה ל-1/4 משטח המשולש הקודם בסדרה. שטח המשולש הראשון הוא 64 סמ"ר. מצאו את שטח המשולש השלישי בסדרה, ואת סכום שטחי שלושת המשולשים הראשונים.
6 נק׳הציגו פתרון
- שטחי המשולשים מהווים סדרה הנדסית עם איבר ראשון A1=64 ומנה q=1/4.
- שטח המשולש השלישי: A3 = A1·q² = 64·(1/4)² = 64·1/16 = 4 סמ"ר.
- סכום n איברים ראשונים בסדרה הנדסית: Sn = A1·(1−qⁿ)/(1−q).
- נציב n=3: S3 = 64·(1−(1/4)³)/(1−1/4) = 64·(1−1/64)/(3/4) = 64·(63/64)·(4/3) = 63·(4/3) = 84 סמ"ר.
תשובה: שטח המשולש השלישי: 4 סמ"ר. סכום שלושת השטחים: 84 סמ"ר.
חלוקת הנקודות בין הסעיפים היא הערכה פנימית של MathHero — בשאלון הרשמי הניקוד ניתן לשאלה כולה.