שאלת מתכונת — שאלון 35571

1. כאשר x→−∞, מתקיים 3 בחזקת (x+1)→0, ולכן g(x)=5−3 בחזקת (x+1)→5 — זו אסימפטוטה אופקית y=5 המתקבלת כאשר x→−∞ (ולא כאשר x→+∞), הדבר שולל את גרף IV.
2. הביטוי 3 בחזקת (x+1) הוא פונקציה עולה, ולכן −3 בחזקת (x+1) היא פונקציה יורדת, וגם g(x)=5−3 בחזקת (x+1) (תוספת קבועה אינה משנה מונוטוניות) יורדת לכל x — הדבר שולל את גרף II (שעולה).
3. ערך האסימפטוטה הוא y=5 (לא y=−5), הדבר שולל את גרף III.
4. כאשר x→∞, מתקיים 3 בחזקת (x+1)→∞ ולכן g(x)→−∞ — אין חסם תחתון. הגרף היחיד התואם את כל התכונות — אסימפטוטה y=5 כאשר x→−∞, יורד לכל x, ללא חסם תחתון כאשר x→∞ — הוא גרף I.

תשובה: גרף I.

1. נציב x=π/4: sin(π/4)=√2/2, cos(π/4)=√2/2. לכן sin²(π/4)+cos²(π/4) = (√2/2)²+(√2/2)² = 1/2+1/2 = 1 — הזהות אכן מתקיימת עבור ערך זה.
2. עם זאת, בדיקה עבור ערך בודד אינה הוכחה כללית: קיימים אינסוף ערכי x, וייתכן תיאורטית שהזהות מתקיימת בחלקם בלבד — הצלחה בנקודה אחת אינה מבטיחה הצלחה בכל הנקודות האחרות.
3. ההוכחה הכללית נובעת ישירות מהגדרת הפונקציות: עבור כל זווית x, הנקודה (cosx,sinx) מוגדרת כנקודה על מעגל היחידה x²+y²=1 (רדיוס 1 סביב הראשית) — ולכן cos²x+sin²x=1 מתקיים לכל x מעצם ההגדרה (או לחלופין, נובע ממשפט פיתגורס במשולש ישר-זווית עם יתר 1).

תשובה: הבדיקה מתקיימת עבור x=π/4, אך אינה הוכחה כללית; ההוכחה הכללית נובעת מהגדרת sin ו-cos כקואורדינטות על מעגל היחידה.

1. מכיוון שדנה ויותם חייבים לשבת זה לצד זה, נתייחס אליהם כאל "יחידה" אחת. יחד עם ארבעת התלמידים הנותרים מתקבלות 5 יחידות לסידור בשורה.
2. מספר הדרכים לסדר 5 יחידות בשורה: 5!=120.
3. בתוך היחידה המשותפת, דנה ויותם יכולים לשבת בשני סדרים אפשריים (דנה משמאל ליותם, או יותם משמאל לדנה): 2 דרכים.
4. לפי עקרון הכפל: מספר הסידורים הכולל = 5!·2 = 120·2 = 240.

תשובה: 240 דרכים.

1. נחשב את f(2): f(2)=2³−3·2=8−6=2, כלומר נקודת ההשקה היא (2,2).
2. נגזרת: f'(x)=3x²−3. נציב x=2: f'(2)=3·4−3=12−3=9 — זהו שיפוע המשיק.
3. נבנה את משוואת המשיק דרך הנקודה (2,2) עם שיפוע 9: y−2=9(x−2), כלומר y=9x−18+2=9x−16.
4. התוצאה זהה בדיוק לישר הנתון y=9x−16, ולכן הטענה נכונה.

תשובה: כן — y=9x−16 הוא משוואת המשיק בנקודה x=2.