ארבעה סעיפים קצרים — סבב ה' · מתכונת 35571

1. בסיס האינדוקציה, n=5: 2⁵=32 ו-5²=25. מכיוון ש-32>25, בסיס האינדוקציה מתקיים.
2. הנחת האינדוקציה: מניחים שקיים k≥5 כך ש-2ᵏ>k².
3. נכפול את שני אגפי ההנחה ב-2 (מותר, כי 2>0): 2·2ᵏ > 2k², כלומר 2 בחזקת (k+1) > 2k².
4. נראה כי 2k²≥(k+1)² עבור k≥5: 2k²−(k+1)² = 2k²−k²−2k−1 = k²−2k−1. עבור k≥5 מתקיים k²−2k−1≥25−10−1=14>0, ולכן 2k²>(k+1)².
5. נחבר את שתי אי-השוויונות בשרשור: 2 בחזקת (k+1) > 2k² > (k+1)², ומכאן 2 בחזקת (k+1)>(k+1)², כנדרש — צעד האינדוקציה הושלם.

תשובה: הטענה מתקיימת בבסיס ובצעד — 2 בחזקת (k+1)>2k²>(k+1)².

1. כאשר מעלים מספר מרוכב בצורה קוטבית בחזקה, מעלים את המודול בחזקה ומכפילים את הזווית: z²=r²·(cos(2θ)+i·sin(2θ)).
2. נציב r=2, θ=60°: z² = 2²·(cos120°+i·sin120°) = 4·(cos120°+i·sin120°).
3. נחשב cos120°=−1/2 ו-sin120°=√3/2: z² = 4·(−1/2) + 4·(√3/2)·i = −2 + 2√3·i.

תשובה: z²=4·(cos120°+i·sin120°) = −2+2√3i

1. עובי הערימה לאחר n קיפולים מהווה סדרה הנדסית: aₙ=0.1·2ⁿ, עם איבר ראשון (לפני קיפול) 0.1 מ"מ ומנה q=2.
2. לאחר 6 קיפולים: a₆=0.1·2⁶=0.1·64=6.4 מ"מ.
3. מחפשים את n הקטן ביותר כך ש-0.1·2ⁿ>10, כלומר 2ⁿ>100.
4. 2⁶=64<100, ואילו 2⁷=128>100. לכן נדרשים לפחות 7 קיפולים, ואז העובי יהיה 0.1·128=12.8 מ"מ.

תשובה: לאחר 6 קיפולים: 6.4 מ"מ. נדרשים 7 קיפולים (12.8 מ"מ).

1. שיעור ה-x של קודקוד הפרבולה f(x)=ax²+bx+c נתון על ידי x=−b/(2a). כאן a=−2, b=8.
2. נציב: x=−8/(2·(−2))=−8/(−4)=2.
3. נמצא את ערך הפונקציה: f(2)=−2·4+8·2−3=−8+16−3=5. הקודקוד הוא הנקודה (2,5).
4. מכיוון שמקדם x² שלילי (a=−2<0), הפרבולה פונה כלפי מטה, ולכן הקודקוד הוא נקודת מקסימום.

תשובה: קודקוד (2,5), מקסימום.