שאלון 35571פרק א' — שאלות קצרות22 נקודות · קלה יחסית
לפניכם 4 סעיפים עצמאיים בנושאים שונים בתוכנית הלימודים. כל סעיף הוא שאלה נפרדת לחלוטין — אינו נשען על הסעיפים האחרים ואינו חולק עמם סיפור מסגרת משותף.
א.נתונה הטענה: "לכל n טבעי מתקיים 3 מחלק את n³+2n". בדקו את בסיס האינדוקציה (n=1), ולאחר מכן הראו את צעד האינדוקציה: בהנחה ש-3 מחלק את k³+2k (עבור k טבעי כלשהו), הראו כי 3 מחלק גם את (k+1)³+2(k+1).
5 נק׳הציגו פתרון
- בסיס האינדוקציה, n=1: 1³+2·1 = 1+2 = 3, וכמובן 3 מחלק את 3.
- הנחת האינדוקציה: קיים מספר שלם m כך ש-k³+2k = 3m.
- נפתח את (k+1)³+2(k+1) = k³+3k²+3k+1+2k+2 = (k³+2k) + (3k²+3k+3).
- נציב את הנחת האינדוקציה: (k³+2k)+(3k²+3k+3) = 3m + 3(k²+k+1) = 3(m+k²+k+1).
- הביטוי האחרון הוא כפולה של 3 (כי m+k²+k+1 הוא מספר שלם), ולכן 3 מחלק את (k+1)³+2(k+1), כנדרש.
תשובה: הטענה מתקיימת בבסיס ובצעד — (k+1)³+2(k+1) = (k³+2k) + 3(k²+k+1).
ב.נתונה הפונקציה f(x) = √(x−1) − 2. להלן תיאור מילולי של ארבעה גרפים אפשריים: I. תחום ההגדרה x≥1, הגרף עולה החל מהנקודה (1,−2) וללא גבול עליון. II. תחום ההגדרה x≥−2, הגרף עולה החל מהנקודה (−2,1). III. תחום ההגדרה x≥1, הגרף יורד החל מהנקודה (1,−2). IV. תחום ההגדרה x≥1, הגרף עולה החל מהנקודה (1,2). איזה מהגרפים I–IV מתאר את גרף f(x)? נמקו את קביעתכם.
5 נק׳הציגו פתרון
- תחום ההגדרה של f נקבע מהדרישה x−1≥0, כלומר x≥1 — הדבר שולל מיידית את גרף II (שתחומו x≥−2).
- נקודת ההתחלה של הגרף היא בקצה תחום ההגדרה: f(1)=√0−2=−2, כלומר הנקודה (1,−2) — הדבר שולל את גרף IV (שמתחיל ב-(1,2)).
- פונקציית השורש היא פונקציה עולה, ולכן גם f(x)=√(x−1)−2 עולה (הזזה אנכית אינה משנה מונוטוניות) וללא גבול עליון — הדבר שולל את גרף III (שיורד).
- הגרף היחיד התואם את כל הנתונים — תחום x≥1, נקודת התחלה (1,−2), עולה ללא גבול — הוא גרף I.
תשובה: גרף I.
ג.נתון כי לגרף הפונקציה f(x) יש אסימפטוטה אנכית x=0 ואסימפטוטה אופקית y=1. מגדירים g(x) = f(x−2) + 3. מצאו את משוואות האסימפטוטות (האנכית והאופקית) של g(x).
6 נק׳הציגו פתרון
- הפונקציה g(x)=f(x−2)+3 מתקבלת מ-f על ידי הזזה אופקית ב-2 יחידות ימינה (בגלל x−2) והזזה אנכית ב-3 יחידות למעלה (בגלל ה-+3).
- הזזה אופקית ב-2 יחידות ימינה מזיזה גם את האסימפטוטה האנכית: x=0 הופכת ל-x=0+2=2.
- הזזה אנכית ב-3 יחידות למעלה מזיזה גם את האסימפטוטה האופקית: y=1 הופכת ל-y=1+3=4.
תשובה: אסימפטוטה אנכית: x=2. אסימפטוטה אופקית: y=4.
ד.סדרה של משולשים ישרי-זווית הדומים זה לזה, שבהם אורך היתר של כל משולש שווה ל-3/2 מאורך היתר של המשולש הקודם בסדרה. אורך היתר של המשולש הראשון הוא 8 ס"מ. מצאו את אורך היתר של המשולש הרביעי בסדרה, ואת סכום אורכי היתרים של ארבעת המשולשים הראשונים.
6 נק׳הציגו פתרון
- אורכי היתרים מהווים סדרה הנדסית עם איבר ראשון a1=8 ומנה q=3/2.
- היתר של המשולש הרביעי: a4 = a1·q³ = 8·(3/2)³ = 8·27/8 = 27 ס"מ.
- סכום n איברים ראשונים בסדרה הנדסית: Sn = a1·(qⁿ−1)/(q−1).
- נציב n=4: S4 = 8·((3/2)⁴−1)/((3/2)−1) = 8·(81/16−1)/(1/2) = 8·(65/16)·2 = 65 ס"מ.
תשובה: היתר של המשולש הרביעי: 27 ס"מ. סכום ארבעת היתרים: 65 ס"מ.
חלוקת הנקודות בין הסעיפים היא הערכה פנימית של MathHero — בשאלון הרשמי הניקוד ניתן לשאלה כולה.