שאלת מתכונת — שאלון 35571

1. מכיוון ש-A,B נמצאות שתיהן על אותה קרן היוצאת מ-P (קרן PA וקרן PB זהות), וכן C,D נמצאות שתיהן על קרן יוצאת מ-P (קרן PC וקרן PD זהות), הזווית ∠APC והזווית ∠DPB הן ממש אותה זווית: ∠APC=∠DPB.
2. המרובע ACDB (בסדר קודקודים זה סביב המעגל) חסום במעגל, ולכן זוויותיו הנגדיות משלימות ל-180°: ∠BAC+∠BDC=180° (A מול D במרובע).
3. מכיוון ש-P,A,B על ישר אחד ו-A נמצאת ביניהם, הזווית ∠PAC והזווית ∠BAC משלימות זו לזו (זוויות על קו ישר): ∠PAC=180°−∠BAC.
4. נציב את התוצאה מהמרובע: ∠PAC=180°−∠BAC=180°−(180°−∠BDC)=∠BDC.
5. מכיוון ש-P,C,D על ישר אחד ו-C נמצאת ביניהם, הקרן DP עוברת דרך C, ולכן קרן DP וקרן DC זהות — ומכאן ∠PDB=∠CDB=∠BDC.
6. נחבר: ∠PAC=∠BDC=∠PDB, כלומר ∠PAC=∠PDB. יחד עם ∠APC=∠DPB מסעיף הראשון, נמצאו שתי זוויות שוות — לפי משפט הדמיון זווית-זווית, משולש PAC דומה למשולש PDB.

תשובה: משולש PAC ~ משולש PDB, לפי משפט הדמיון זווית-זווית.

1. מהדמיון משולש PAC ~ משולש PDB (בהתאמה P↔P, A↔D, C↔B) נובע יחס הצלעות: PA/PD=PC/PB.
2. נכפול בהצלבה (מותר, כי כל האורכים חיוביים): PA·PB=PC·PD, כנדרש.

תשובה: PA·PB=PC·PD

1. נחשב תחילה PB=PA+AB=3+5=8.
2. לפי המשפט: PA·PB=PC·PD, כלומר 3·8=4·PD, ולכן 24=4·PD, ומכאן PD=6.
3. CD=PD−PC=6−4=2.

תשובה: PD=6, CD=2.

1. לפי הנתון: PT²=PA·PB=3·8=24.
2. PT=√24=√(4·6)=2√6.

תשובה: PT=2√6.