מרובע חסום במעגל — אלכסונים · מתכונת 35571

1. ∠BAC היא זווית היקפית שקודקודה A, הנשענת על הקשת BC שאינה מכילה את A.
2. ∠BDC היא זווית היקפית שקודקודה D, הנשענת על אותה קשת BC (מאותו צד של הקשת, מכיוון ש-A ו-D נמצאים באותו צד ביחס לקשת BC).
3. לפי משפט הזווית ההיקפית, כל הזוויות ההיקפיות הנשענות על אותה קשת שוות זו לזו, ולכן ∠BAC = ∠BDC.

תשובה: ∠BAC = ∠BDC, כי שתיהן זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת BC.

1. הזווית ∠AEB והזווית ∠DEC הן זוויות קדקודיות (נוצרות מחיתוך שני הישרים AC ו-BD בנקודה E), ולכן ∠AEB = ∠DEC.
2. מסעיף א' הוכח כי ∠BAE = ∠BAC = ∠BDC = ∠CDE (∠BAE היא אותה זווית כמו ∠BAC, ו-∠CDE היא אותה זווית כמו ∠BDC, מכיוון ש-E נמצאת על הישרים AC ו-BD בהתאמה).
3. נמצאו שתי זוויות שוות בין המשולשים AEB ו-DEC: ∠AEB=∠DEC ו-∠BAE=∠CDE. לפי משפט הדמיון זווית-זווית, משולש AEB דומה למשולש DEC, בהתאמה A↔D, E↔E, B↔C.

תשובה: משולש AEB ~ משולש DEC, לפי משפט הדמיון זווית-זווית (זז"ז).

1. מהדמיון AEB~DEC (בהתאמה A↔D, E↔E, B↔C) נובע היחס: AE/DE = EB/EC = AB/DC = k.
2. נחשב את יחס הדמיון: k = AE/DE = 8/4 = 2.
3. נמצא את EC: EB/EC=k, ולכן EC = EB/k = 6/2 = 3 ס"מ.
4. נמצא את DC: AB/DC=k, ולכן DC = AB/k = 10/2 = 5 ס"מ.

תשובה: EC=3 ס"מ, DC=5 ס"מ.

1. בשני משולשים דומים, היחס בין השטחים שווה לריבוע יחס הדמיון בין הצלעות המתאימות.
2. יחס הדמיון שנמצא בסעיף ג' הוא k=2 (כאשר AEB הוא המשולש הגדול יותר).
3. לכן יחס השטחים הוא k²=2²=4, כלומר שטח משולש AEB גדול פי 4 משטח משולש DEC — היחס 4:1.

תשובה: שטח AEB : שטח DEC = 4:1