שאלון 35571פרק א' — שאלות קצרות22 נקודות · ברמת הבחינה
לפניכם 4 סעיפים עצמאיים בנושאים שונים בתוכנית הלימודים. כל סעיף הוא שאלה נפרדת לחלוטין — אינו נשען על הסעיפים האחרים ואינו חולק עמם סיפור מסגרת משותף.
א.נתונים המספרים המרוכבים z1=2−i ו-z2=3+4i. חשבו את המכפלה z1·z2, ורשמו את התוצאה בצורה האלגברית a+bi.
5 נק׳הציגו פתרון
- נכפול לפי חוק הפילוג: (2−i)(3+4i) = 2·3 + 2·4i − i·3 − i·4i.
- נחשב כל איבר: 6 + 8i − 3i − 4i².
- נציב i²=−1: −4i² = 4. נאסוף איברים: (6+4) + (8i−3i) = 10+5i.
תשובה: z1·z2 = 10+5i
ב.חשבו את האינטגרל המסוים ∫ (מ-0 עד 3) (x²+1) dx.
5 נק׳הציגו פתרון
- פונקציה קדומה: F(x) = x³/3 + x.
- נציב את גבולות האינטגרציה: F(3)−F(0) = (27/3+3) − (0+0) = (9+3) − 0 = 12.
תשובה: 12
ג.נתונה הטענה: "לכל n טבעי מתקיים 4 מחלק את 5ⁿ−1". בדקו את בסיס האינדוקציה (n=1), ולאחר מכן הראו את צעד האינדוקציה: בהנחה ש-4 מחלק את 5^k−1 (עבור k טבעי כלשהו), הראו כי 4 מחלק גם את 5^(k+1)−1.
6 נק׳הציגו פתרון
- בסיס האינדוקציה, n=1: 5¹−1=4, וכמובן 4 מחלק את 4.
- הנחת האינדוקציה: קיים מספר שלם m כך ש-5^k−1 = 4m.
- נפתח: 5^(k+1)−1 = 5·5^k − 1 = 5·(5^k−1) + 5 − 1 = 5·4m + 4 = 4(5m+1).
- הביטוי האחרון הוא כפולה של 4 (כי 5m+1 הוא מספר שלם), ולכן 4 מחלק את 5^(k+1)−1, כנדרש.
תשובה: הטענה מתקיימת בבסיס ובצעד — 5^(k+1)−1 = 4(5m+1).
ד.אורך הניצב הקצר במשולש הראשון בסדרת משולשים ישרי-זווית דומים הוא b1=9 ס"מ, ובכל משולש הבא בסדרה אורך הניצב הקצר שווה ל-2/3 מאורך הניצב הקצר במשולש הקודם. מצאו את אורך הניצב הקצר במשולש השלישי (b3), ואת סכום אורכי הניצבים הקצרים בשלושת המשולשים הראשונים.
6 נק׳הציגו פתרון
- אורכי הניצבים הקצרים מהווים סדרה הנדסית עם b1=9 ומנה q=2/3.
- b3 = b1·q² = 9·(2/3)² = 9·4/9 = 4 ס"מ.
- האיברים בפועל: b1=9, b2=9·(2/3)=6, b3=4.
- סכום שלושת האיברים: 9+6+4=19 ס"מ.
תשובה: b3 = 4 ס"מ. סכום שלושת האיברים: 19 ס"מ.
חלוקת הנקודות בין הסעיפים היא הערכה פנימית של MathHero — בשאלון הרשמי הניקוד ניתן לשאלה כולה.