שאלת מתכונת — שאלון 35571

1. נשתמש בזהות sinθ·cosθ = (1/2)sin(2θ) עם θ=2x: f(x) = sin(2x)·cos(2x) = (1/2)sin(2·2x) = (1/2)sin(4x).
2. מחזור הפונקציה sin(bx) הוא T=2π/b. כאן b=4, ולכן המחזור של sin(4x) — וגם של f(x) שהיא כפולה קבועה שלה — הוא T=2π/4=π/2.

תשובה: f(x)=(1/2)sin(4x), מחזור T=π/2.

1. נגזור את f(x)=(1/2)sin(4x) לפי כלל השרשרת: הנגזרת של sin(4x) היא cos(4x)·4=4cos(4x).
2. לכן f'(x) = (1/2)·4cos(4x) = 2cos(4x).

תשובה: f'(x) = 2cos(4x)

1. נשווה את הנגזרת לאפס: f'(x)=2cos(4x)=0, כלומר cos(4x)=0.
2. הפתרון הכללי: 4x = π/2 + πn (n שלם), כלומר x = π/8 + πn/4.
3. נמצא את הפתרונות בקטע [0,π]: n=0→x=π/8; n=1→x=3π/8; n=2→x=5π/8; n=3→x=7π/8 (עבור n=4 מתקבל x=9π/8, מחוץ לקטע).
4. נציב כל נקודה בפונקציה f(x)=(1/2)sin(4x) כדי לסווג: x=π/8: 4x=π/2, sin=1, f=1/2 — מקסימום. x=3π/8: 4x=3π/2, sin=−1, f=−1/2 — מינימום. x=5π/8: 4x=5π/2, sin=1, f=1/2 — מקסימום. x=7π/8: 4x=7π/2, sin=−1, f=−1/2 — מינימום.
5. (ניתן גם לאמת סיווג זה באמצעות בדיקת סימן הנגזרת סביב כל נקודה, ולקבל אותה תוצאה.)

תשובה: מקסימום ב-x=π/8 וב-x=5π/8 (f=1/2); מינימום ב-x=3π/8 וב-x=7π/8 (f=−1/2).

1. נבדוק את f(−x): f(−x) = (1/2)sin(4·(−x)) = (1/2)sin(−4x).
2. בעזרת תכונת האי-זוגיות של sin: sin(−4x) = −sin(4x).
3. לכן f(−x) = (1/2)·(−sin(4x)) = −(1/2)sin(4x) = −f(x), ולכן f היא פונקציה אי-זוגית.

תשובה: f אי-זוגית.