שאלון 35571פרק ב' — אינדוקצייה, סדרות והסתברות22 נקודות · מאתגרת
מפעל מרכיב רכיבים אלקטרוניים מקבל אספקה משלושה ספקים: ספק A מספק מחצית מהרכיבים במלאי (P(A)=1/2), ספק B מספק 3/10 מהרכיבים (P(B)=3/10), וספק C מספק את היתר. שיעור הרכיבים הפגומים שונה מספק לספק: אצל ספק A שיעור הפגומים הוא 1/50, אצל ספק B שיעור הפגומים הוא 1/20, ואצל ספק C שיעור הפגומים הוא 1/10. בוחרים רכיב אחד באקראי ממלאי המפעל.
א.הוכיחו כי המאורעות A, B ו-C (מקור הרכיב הנבחר) מהווים חלוקה של מרחב המדגם — כלומר שהם זרים בזוגות (לא ייתכן שרכיב הגיע משני ספקים בו-זמנית) ומכסים יחד את כל האפשרויות — ולפי זאת מצאו את P(C).
5 נק׳הציגו פתרון
- כל רכיב במלאי הגיע מדיוק ספק אחד מבין השלושה — לא ייתכן שרכיב הגיע משני ספקים שונים בו-זמנית, ולכן המאורעות A,B,C זרים בזוגות (החיתוך בין כל שניים מהם ריק).
- כל רכיב במלאי הגיע מאחד משלושת הספקים (אין ספק רביעי), ולכן שלושת המאורעות מכסים יחד את כל מרחב המדגם, ומכאן P(A)+P(B)+P(C)=1.
- מכיוון שהם זרים בזוגות ומכסים את כל המרחב, שלושת המאורעות מהווים חלוקה (partition) של מרחב המדגם — תנאי הכרחי לשימוש בנוסחת ההסתברות השלמה.
- נציב את הנתונים: 1/2+3/10+P(C)=1. במכנה משותף 10: 5/10+3/10+P(C)=1, ולכן P(C)=2/10=1/5.
תשובה: A,B,C זרים ומכסים את כל מרחב המדגם; P(C)=1/5.
ב.נסחו את משפט ההסתברות השלמה עבור המאורע "הרכיב הנבחר פגום" (נסמנו D), ביחס לחלוקה A,B,C. לאחר מכן חשבו את P(D).
6 נק׳הציגו פתרון
- משפט ההסתברות השלמה: P(D)=P(A)·P(D|A)+P(B)·P(D|B)+P(C)·P(D|C).
- נציב ונביא למכנה משותף 200: P(A)·P(D|A)=(1/2)·(1/50)=1/100=2/200.
- P(B)·P(D|B)=(3/10)·(1/20)=3/200.
- P(C)·P(D|C)=(1/5)·(1/10)=1/50=4/200.
- נחבר: P(D)=2/200+3/200+4/200=9/200.
תשובה: P(D)=P(A)·P(D|A)+P(B)·P(D|B)+P(C)·P(D|C)=9/200.
ג.נתון כי הרכיב שנבחר התגלה כפגום. באמצעות נוסחת בייס, חשבו את P(A|D), P(B|D) ו-P(C|D) — ההסתברות שהרכיב הגיע מכל אחד מהספקים, בהינתן שהוא פגום. איזה ספק סביר ביותר שממנו הגיע הרכיב הפגום?
6 נק׳הציגו פתרון
- נוסחת בייס: P(A|D)=P(A)·P(D|A)/P(D), ובאופן דומה לכל ספק.
- P(A|D)=(2/200)/(9/200)=2/9. P(B|D)=(3/200)/(9/200)=3/9=1/3. P(C|D)=(4/200)/(9/200)=4/9.
- בדיקה: 2/9+1/3+4/9=2/9+3/9+4/9=9/9=1 — תקין.
- למרות שספק C מספק את החלק הקטן ביותר מהמלאי (1/5 בלבד), ההסתברות שרכיב פגום הגיע דווקא ממנו היא הגדולה מכולן (4/9), כי שיעור הפגמים אצלו (1/10) גבוה משמעותית משיעור הפגמים אצל שני הספקים האחרים. לכן ספק C הוא הסביר ביותר שממנו הגיע הרכיב הפגום.
תשובה: P(A|D)=2/9, P(B|D)=1/3, P(C|D)=4/9. הספק הסביר ביותר: C.
ד.חשבו את ההסתברות שהרכיב שנבחר תקין (אינו פגום).
5 נק׳הציגו פתרון
- המאורעות "פגום" (D) ו"תקין" משלימים זה לזה — בדיוק אחד מהם מתקיים תמיד.
- לכן P(תקין)=1−P(D)=1−9/200=200/200−9/200=191/200.
תשובה: 191/200.
חלוקת הנקודות בין הסעיפים היא הערכה פנימית של MathHero — בשאלון הרשמי הניקוד ניתן לשאלה כולה.