שאלת מתכונת — שאלון 35571

1. נגזרת x היא 1, ונגזרת cosx היא −sinx.
2. לפי כלל הסכום: f'(x) = 1 − sinx.

תשובה: f'(x) = 1 − sinx

1. נשווה לאפס: f'(x)=1−sinx=0, כלומר sinx=1.
2. sinx=1 מתקיים בדיוק בנקודות x=π/2+2πn, עבור n שלם כלשהו (זווית הרביע הראשון שבה sin מקבל את ערכו המרבי, וחוזרת על עצמה כל 2π).

תשובה: x = π/2 + 2πn (n שלם).

1. לכל x ממשי מתקיים sinx≤1, ולכן f'(x)=1−sinx≥0 לכל x — אין אף נקודה שבה f'(x)<0.
2. לפי סעיף ב', f'(x)=0 מתקיים רק בנקודות הבודדות x=π/2+2πn — נקודות מבודדות על ציר ה-x, ולא על פני קטע שלם של ערכים (בין שתי נקודות עוקבות מהצורה הזו יש תמיד קטע ארוך שבו f'(x)>0 ממש).
3. מכיוון ש-f'(x)≥0 בכל מקום, f אינה יורדת באף מקום (מונוטונית עולה במובן החלש). נניח בשלילה כי קיימים x1<x2 שעבורם f(x1)=f(x2); אז מהמונוטוניות החלשה f קבועה בכל הקטע [x1,x2], ולכן f'(x)=0 בכל הקטע הזה — בסתירה לכך ש-f' מתאפסת רק בנקודות מבודדות.
4. לכן לכל x1<x2 מתקיים f(x1)<f(x2), כלומר f עולה ממש (מונוטונית עולה) על פני כל הישר הממשי.

תשובה: f'(x)≥0 תמיד, מתאפסת רק בנקודות מבודדות, ולכן f עולה ממש בכל מקום.

1. נפתור f'(x)=1−sinx=0 בקטע [0,2π]: sinx=1 מתקיים רק ב-x=π/2 בתוך קטע זה (הפתרון הבא מהצורה π/2+2πn נמצא כבר מחוץ לקטע).
2. נבדוק את סימן f' משני צדי הנקודה: מיד לפני π/2, sinx<1 ולכן f'(x)>0; מיד אחרי π/2, sinx<1 שוב (כי sinx יורד מהערך המרבי), ולכן f'(x)>0 גם שם.
3. מכיוון ש-f' אינה מחליפה סימן סביב x=π/2 (חיובית משני הצדדים, ומתאפסת רק לרגע), הנקודה x=π/2 אינה נקודת קיצון מקומית — היא נקודה שבה f ממשיכה לעלות ברציפות, בהתאמה מלאה למסקנת סעיף ג' שכל הפונקציה עולה ממש בכל מקום.

תשובה: x=π/2; אינה נקודת קיצון מקומית.