שאלון 35571פרק ג' — גאומטרייה וטריגונומטרייה במישור22 נקודות · ברמת הבחינה
במגרש בצורת משולש ABC, אורך הצלע AB (מסומן c) הוא k מטר, ואורך הצלע AC (מסומן b) הוא 2k מטר, כאשר k>0 פרמטר. הזווית בין הצלעות AB ו-AC (הזווית בקודקוד A) היא 60°. מהקודקוד A יוצא חוצה-זווית אל הצלע BC, הפוגע בה בנקודה D.
א.הוכיחו כי אורך חוצה הזווית AD מקיים תמיד את הנוסחה הכללית AD=2bc·cos(A/2)/(b+c), כאשר b=AC, c=AB, ו-A היא הזווית בקודקוד A (זאת עבור כל משולש ABC וחוצה זווית A מהקודקוד A, לא רק במקרה הפרטי הנתון כאן).
6 נק׳הציגו פתרון
- מכיוון ש-AD חוצה את הזווית A, הוא מחלק אותה לשתי זוויות שוות: ∠BAD=∠DAC=A/2.
- שטח משולש ABC שווה לסכום שטחי המשולשים ABD ו-ADC (ש-AD מחלק אותם): S(ABC)=S(ABD)+S(ADC).
- לפי נוסחת השטח (1/2)·(צלע)·(צלע)·sin(הזווית ביניהן): S(ABC)=(1/2)·b·c·sinA. S(ABD)=(1/2)·c·AD·sin(A/2). S(ADC)=(1/2)·b·AD·sin(A/2).
- נציב בשוויון השטחים: (1/2)·b·c·sinA = (1/2)·c·AD·sin(A/2) + (1/2)·b·AD·sin(A/2).
- נכפול ב-2 ונוציא AD·sin(A/2) כגורם משותף באגף ימין: b·c·sinA = AD·sin(A/2)·(b+c).
- לפי זהות הזווית הכפולה sinA=2·sin(A/2)·cos(A/2): b·c·2·sin(A/2)·cos(A/2) = AD·sin(A/2)·(b+c).
- מכיוון ש-0<A/2<90°, מתקיים sin(A/2)≠0, ומותר לחלק בו את שני האגפים: 2bc·cos(A/2) = AD·(b+c).
- נחלק ב-(b+c) (חיובי, כי b,c אורכי צלעות): AD = 2bc·cos(A/2)/(b+c), כנדרש.
תשובה: AD = 2bc·cos(A/2)/(b+c)
ב.הציבו b=2k, c=k ו-A=60° בנוסחה מסעיף א', ובטאו את AD באמצעות k בצורה הפשוטה ביותר.
5 נק׳הציגו פתרון
- נציב A=60°, ולכן A/2=30° ו-cos(A/2)=cos30°=√3/2.
- AD = 2·(2k)·(k)·(√3/2)/(2k+k) = (2k²√3)/(3k) = 2√3·k/3.
תשובה: AD = 2√3·k/3
ג.נתון כי AD=4√3. מצאו את ערך הפרמטר k.
5 נק׳הציגו פתרון
- נשווה: 2√3·k/3 = 4√3.
- נחלק את שני האגפים ב-√3: 2k/3=4, ולכן k=6.
תשובה: k=6
ד.עבור הערך של k שמצאתם, חשבו את שטח המשולש ABC לפי הנוסחה S=(1/2)·AB·AC·sinA.
6 נק׳הציגו פתרון
- נציב k=6: AB=c=6, AC=b=2k=12.
- S=(1/2)·6·12·sin60° = 36·(√3/2) = 18√3 מ"ר.
תשובה: S=18√3 מ"ר.
חלוקת הנקודות בין הסעיפים היא הערכה פנימית של MathHero — בשאלון הרשמי הניקוד ניתן לשאלה כולה.