שאלת מתכונת — שאלון 35571

1. משפט הקוסינוסים במשולש ABC: a² = b²+c²−2bc·cosA.
2. נציב a²=(√39)²=39, c=7, cosA=cos60°=1/2: 39 = b²+7²−2·b·7·(1/2) = b²+49−7b.
3. נעביר אגפים: b²−7b+49−39=0, כלומר b²−7b+10=0, כנדרש.

תשובה: b²−7b+10=0

1. נפרק לגורמים: b²−7b+10=(b−5)(b−2) (בדיקה: (b−5)(b−2)=b²−2b−5b+10=b²−7b+10 ✓).
2. נשווה לאפס: (b−5)(b−2)=0, ולכן b=5 או b=2. שני הערכים חיוביים, ולכן שניהם אפשריים כאורך צלע.

תשובה: b=5 או b=2.

1. משפט הסינוסים: a/sinA = b/sinB, ולכן sinB = b·sinA/a.
2. נציב sinA=sin60°=√3/2 ו-a=√39: sinB = b·(√3/2)/√39 = b√3/(2√39).
3. עבור b=5: sinB = 5√3/(2√39). נכפול מונה ומכנה ב-√39: = 5√117/78 = 5·3√13/78 = 15√13/78 = 5√13/26 ≈0.693.
4. עבור b=2: sinB = 2√3/(2√39) = √3/√39 = √(1/13) = √13/13 ≈0.277.
5. שני הערכים מקיימים 0<sinB<1, ולכן שניהם תקינים — כלומר קיימים שני משולשים שונים המקיימים את כל הנתונים. זהו בדיוק המקרה הדו-משמעי (האמביגואלי) של צלע-צלע-זווית לא כלואה, המתקיים כאן כי c·sinA=7·(√3/2)=7√3/2<√39=a<7=c.

תשובה: sinB=5√13/26 (עבור b=5) או sinB=√13/13 (עבור b=2); שני הערכים תקינים — קיימים שני משולשים שונים המקיימים את הנתונים.

1. נוסחת שטח משולש לפי שתי צלעות והזווית הכלואה: S=(1/2)·b·c·sinA.
2. נציב b=5, c=7, sinA=√3/2: S=(1/2)·5·7·(√3/2) = (35/2)·(√3/2) = 35√3/4 מ"ר.

תשובה: S = 35√3/4 מ"ר.