הכנסות מהגרלה — אינדוקציה · מתכונת 35571

1. נציב n=1: 10¹−1=10−1=9.
2. 9 מחלק את 9 (המנה 1), ולכן בסיס האינדוקציה מתקיים.

תשובה: עבור n=1: 10¹−1=9, ו-9 מחלק את 9.

1. הנחת האינדוקציה: מניחים כי הטענה נכונה עבור n=k, כלומר קיים מספר שלם m כך ש-10ᵏ−1=9m.
2. המטרה בצעד האינדוקציה: להראות שמתוך ההנחה הזו נובע בהכרח כי גם 9 מחלק את 10 בחזקת (k+1) פחות 1, כלומר שהטענה נכונה גם עבור n=k+1.

תשובה: הנחה: קיים מספר שלם m כך ש-10ᵏ−1=9m. יש להראות: 9 מחלק את 10 בחזקת (k+1) פחות 1.

1. נפתח את הביטוי: 10 בחזקת (k+1) פחות 1 = 10·10ᵏ − 1.
2. נוסיף ונחסר 10 כדי לחשוף את הביטוי מהנחת האינדוקציה: 10·10ᵏ−1 = 10·(10ᵏ−1) + 10 − 1 = 10·(10ᵏ−1) + 9.
3. נציב את הנחת האינדוקציה 10ᵏ−1=9m: 10·9m + 9 = 90m+9 = 9(10m+1).
4. הביטוי 9(10m+1) הוא כפולה של 9 (כי 10m+1 הוא מספר שלם), ולכן 9 מחלק את 10 בחזקת (k+1) פחות 1, וזה משלים את צעד האינדוקציה.
5. לפי עקרון האינדוקציה המתמטית, מתקיים כי 9 מחלק את 10ⁿ−1 לכל n טבעי.

תשובה: 10 בחזקת (k+1) פחות 1 = 9(10m+1), ולכן 9 מחלק אותו.

1. נחשב את סך ההכנסות: 10⁴−1=10000−1=9999 אגורות.
2. לפי ההוכחה, 9 מחלק את 9999 בהכרח.
3. מספר החבילות הנדרש: 9999/9=1111.

תשובה: 9999 אגורות, 1111 חבילות.