פונקציה מורכבת √(x²−4) · מתכונת 35571

1. הפונקציה h(x)=√(x²−4) מוגדרת רק כאשר הביטוי מתחת לשורש אינו שלילי: x²−4≥0.
2. נפתור: x²≥4, כלומר |x|≥2, ומכאן x≤−2 או x≥2.

תשובה: x≤−2 או x≥2.

1. לפי כלל השרשרת: h'(x) = f'(g(x))·g'(x).
2. נגזרת f(u)=√u היא f'(u)=1/(2√u), ונגזרת g(x)=x²−4 היא g'(x)=2x.
3. נציב: h'(x) = [1/(2√(x²−4))]·2x = x/√(x²−4).

תשובה: h'(x) = x/√(x²−4)

1. נבדוק מתי h'(x)=0: x/√(x²−4)=0 מתקיים רק כאשר x=0, אך x=0 אינו בתחום ההגדרה של h (הוא נמצא בקטע −2<x<2 שאינו כלול בתחום).
2. לכן אין נקודת קיצון פנימית בתחום ההגדרה הפתוח.
3. עבור x>2: המונה x חיובי והמכנה חיובי, ולכן h'(x)>0 — הפונקציה עולה בקטע (2,∞).
4. עבור x<−2: המונה x שלילי והמכנה חיובי, ולכן h'(x)<0 — הפונקציה יורדת בקטע (−∞,−2).
5. בשתי נקודות הקצה x=2 ו-x=−2 מתקיים h=√(4−4)=0, וזהו הערך המזערי (מינימום גלובלי) של h על כל תחום ההגדרה, מכיוון ש-h(x)=√(x²−4)≥0 תמיד.

תשובה: אין קיצון פנימי; h יורדת ב-(−∞,−2), עולה ב-(2,∞); מינימום גלובלי 0 בקצוות x=±2.

1. נחשב את h(2√2): (2√2)²−4 = 8−4=4, ולכן h(2√2)=√4=2 — נקודת ההשקה היא (2√2, 2).
2. נחשב את שיפוע המשיק לפי הנגזרת מסעיף ב': h'(2√2) = 2√2/√((2√2)²−4) = 2√2/√4 = 2√2/2 = √2.
3. נציב בנוסחת הישר: y−2 = √2·(x−2√2).
4. נפתח: y = √2·x − √2·2√2 + 2 = √2·x − 4 + 2 = √2·x − 2.

תשובה: y = √2·x − 2

1. נבדוק את h(−x)=√((−x)²−4)=√(x²−4)=h(x), ולכן h היא פונקציה זוגית (הגרף שלה סימטרי ביחס לציר ה-y).
2. הזוגיות נובעת מכך ש-g(x)=x²−4 היא פונקציה זוגית, כלומר g(−x)=g(x) לכל x — ומכאן ש-h(−x)=f(g(−x))=f(g(x))=h(x) מתקיים תמיד, לא משנה מהי הפונקציה f (כל הרכבה של פונקציה כלשהי f על פונקציה זוגית g נותנת פונקציה זוגית).

תשובה: h זוגית.