גלגל מזל — תוחלת ורווחיות · מתכונת 35571

1. מקרה "אין זכייה": דמי הכניסה נשארים אצל המפעילים ללא תשלום פרס, ולכן X=10−0=10, בהסתברות 0.5.
2. מקרה "פרס קטן": המפעילים גובים 10 ₪ אך משלמים פרס בשווי 20 ₪, ולכן X=10−20=−10, בהסתברות 0.3.
3. מקרה "ג'קפוט": המפעילים גובים 10 ₪ אך משלמים פרס בשווי 100 ₪, ולכן X=10−100=−90, בהסתברות 0.2.
4. בדיקת סכום ההסתברויות: 0.5+0.3+0.2=1.0 — התפלגות תקינה.

תשובה: X=10 (הסתברות 0.5), X=−10 (הסתברות 0.3), X=−90 (הסתברות 0.2). סכום ההסתברויות = 1.

1. נוסחת התוחלת: E(X) = Σ xᵢ·P(xᵢ).
2. E(X) = 10·0.5 + (−10)·0.3 + (−90)·0.2 = 5 − 3 − 18 = −16.

תשובה: E(X) = −16 ₪.

1. לפי ההגדרה: Var(X) = E[(X−μ)²], כאשר μ=E(X) קבוע.
2. נפתח את הריבוע בתוך התוחלת: (X−μ)² = X²−2μX+μ². לפי לינאריות התוחלת: E[(X−μ)²] = E[X²]−2μ·E[X]+E[μ²].
3. מכיוון ש-μ קבוע, E[X]=μ ו-E[μ²]=μ² (תוחלת של קבוע היא הקבוע עצמו). נציב: E[X²]−2μ·μ+μ² = E[X²]−2μ²+μ² = E[X²]−μ².
4. מכיוון ש-μ=E(X), מתקבל Var(X)=E(X²)−[E(X)]², כנדרש.
5. כעת נחשב עבור המשחק: E(X²) = 10²·0.5 + (−10)²·0.3 + (−90)²·0.2 = 100·0.5+100·0.3+8100·0.2 = 50+30+1620 = 1700.
6. לפי הנוסחה שהוכחה: Var(X) = E(X²)−[E(X)]² = 1700−(−16)² = 1700−256 = 1444.
7. סטיית התקן: √Var(X) = √1444 = 38 (בדיקה: 38²=1444) — סטיית התקן היא 38 ₪.

תשובה: Var(X)=E(X²)−[E(X)]² (כלל כללי); במשחק הנתון: Var(X)=1444, סטיית התקן = 38 ₪.

1. נחזור על החישוב עם דמי כניסה כלליים e: X=e (הסתברות 0.5), X=e−20 (הסתברות 0.3), X=e−100 (הסתברות 0.2).
2. E(X) = e·0.5 + (e−20)·0.3 + (e−100)·0.2 = 0.5e + 0.3e−6 + 0.2e−20 = e−26.
3. דורשים E(X)≥0: e−26≥0, כלומר e≥26 — דמי הכניסה המינימליים לנקודת איזון הם 26 ₪.
4. בתנאים הנוכחיים, דמי הכניסה הם רק 10 ₪ (פחות מ-26 ₪), ולפי סעיף ב' מתקבלת תוחלת שלילית (E(X)=−16 ₪) — כלומר בממוצע, על פני הרבה משחקים, המפעילים מפסידים כסף. לכן לא כדאי להמשיך בתנאים הנוכחיים; יש להעלות את דמי הכניסה לפחות ל-26 ₪ (או לצמצם את שווי הפרסים) כדי שהמשחק יהיה כדאי כלכלית בטווח הארוך.

תשובה: דמי כניסה מינימליים לאיזון: e=26 ₪. בתנאים הנוכחיים (10 ₪) המשחק אינו כדאי למפעילים, כי התוחלת שלילית.