שאלת מתכונת — שאלון 35571

1. נשתמש בזהות הזווית הכפולה cos(2θ)=cos²θ−sin²θ עם θ=x: f(x) = cos²x−sin²x = cos(2x).
2. מחזור הפונקציה cos(bx) הוא T=2π/b. כאן b=2, ולכן המחזור של f הוא T=2π/2=π.

תשובה: f(x)=cos(2x), מחזור T=π.

1. נגזור את f(x)=cos(2x) לפי כלל השרשרת: הנגזרת של cos(2x) היא −sin(2x)·2 = −2sin(2x).

תשובה: f'(x) = −2sin(2x)

1. נשווה את הנגזרת לאפס: f'(x)=−2sin(2x)=0, כלומר sin(2x)=0.
2. הפתרון הכללי: 2x = πn (n שלם), כלומר x = πn/2.
3. נמצא את הפתרונות בקטע [0,π]: n=0→x=0; n=1→x=π/2; n=2→x=π.
4. נציב כל נקודה בפונקציה f(x)=cos(2x): x=0: f=cos0=1. x=π/2: f=cos(π)=−1. x=π: f=cos(2π)=1.
5. נבדוק סוג קיצון לפי סימן הנגזרת: מיד אחרי x=0, מתקיים 2x בקטע (0,π) ולכן sin(2x)>0, כך ש-f'(x)<0 (הפונקציה יורדת) — x=0 הוא מקסימום (בקצה). סביב x=π/2: לפני הנקודה sin(2x)>0 ו-f'<0 (יורדת), אחרי הנקודה (2x בקטע (π,2π)) מתקיים sin(2x)<0 ו-f'>0 (עולה) — x=π/2 הוא מינימום. מיד לפני x=π מתקיים 2x בקטע (π,2π), sin(2x)<0, f'>0 (עולה) — x=π הוא מקסימום (בקצה).

תשובה: מקסימום ב-x=0 וב-x=π (f=1); מינימום ב-x=π/2 (f=−1).

1. נבדוק את f(−x): cos(−x)=cos(x) ו-sin(−x)=−sin(x), ולכן cos²(−x)=cos²x ו-sin²(−x)=(−sinx)²=sin²x.
2. לכן f(−x) = cos²(−x)−sin²(−x) = cos²x−sin²x = f(x), ומכאן ש-f היא פונקציה זוגית.

תשובה: f זוגית.